Folgende Reihe auf Konvergenz untersuchen (n!²)/((2n)!)

28.12.2016, 18:17	Knightfire66	Auf diesen Beitrag antworten »
Folgende Reihe auf Konvergenz untersuchen (n!²)/((2n)!) Meine Frage: Folgende Reihe auf Konvergenz untersuchen (n!²)/((2n)!) Ich muss die folgende Reihe auf Konvergenz untersuchen: [attach]43432[/attach] Habt ihr n Lösungsansatz? Also ich würde mit dem Quotientenkriterium vorgehen aber wie? Meine Ideen: nope
28.12.2016, 18:23	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Quotientenkriterium ist genau die richtige Idee. Wobei hast du denn da Probleme?
28.12.2016, 21:21	Mathe<3	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hätte dazu auch eine allgemeine frage... Wie bestimmt man am besten welches Kriterium man anwendet ? Also Quotintenkriterium oder Wurzelkriterium ?
28.12.2016, 21:54	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt da keine allgemeine Regel, wann welches Kriterium zum Ziel führt. Oft probiert man das eine oder das andere, und dann funktioniert es - oder eben nicht. Mit etwas Erfahrung kann man oft von vorneherein schon erahnen, welches Kriterium (einfacher) zum Ziel führt. Bei Fakultäten wie in der obigen Reihe lohnt es sich immer, das Quotientenkriterium zu probieren, weil sich Fakultäten in Brüchen meist sehr schön kürzen lassen.
28.12.2016, 22:58	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Das meiste ist Erfahrung, da stimme ich zu. Man kann aber ein paar Richtlinien angeben: Wenn das Wurzelkriterium kein Ergebnis lieferte¹, so kann man das Quotientenkriterium auslassen, es kann dann auch kein Ergebnis liefern.² Bei Reihen $\begin{align} \sum_{n=n_0}^\infty R(n) \end{align}$ , wobei $\begin{align} R \end{align}$ eine verallgemeinerte rationale Funktion³ ist, wird das Wurzel- und somit auch das Quotientenkriterium sicher kein Ergebnis liefern. Allerdings wird sich immer eine Majorante oder Minorante der Form $\begin{align} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha} \end{align}$ finden lassen. Ausdrücke mit Fakultäten lassen sich meist recht gut mit dem Quotientenkriterium bearbeiten. Das Wurzelkriterium funktioniert dort in diesem Fall natürlich auch, braucht aber oft fortgeschrittenere Kenntnisse. ¹Damit ist gemeint, dass der auftretende Limes Superior gleich 1 ist, nicht, dass man nicht in der Lage war, diesen zu bestimmen. ²Umgekehrt ist dies nicht der Fall, das Quotientenkriterium ist echt schwächer, als das Wurzelkriterium. ³Mit 'verallgemeinert' ist hier gemeint, dass nicht nur natürliche Exponenten bei den Potenzen, sondern beliebige reelle Zahlen erlaubt sind.
29.12.2016, 09:52	Matt Eagle	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folgende Reihe auf Konvergenz untersuchen (n!²)/((2n)!) Es lässt sich übrigens auch der Wert dieser Reihe exakt berechnen. Dazu betrachtet man zunächst die Summanden und stellt fest: $\begin{eqnarray} \frac{(n!)^2}{(2n)!} =\frac{n\Gamma(n)\Gamma(n+1)}{\Gamma(2n+1)}=nB(n+1,n)=n \int_0^1 t^n(1-t)^{n-1} dt. \end{eqnarray}$ Damit erhält man dann: $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty \frac{(n!)^2}{(2n)!} =\ldots= \int_0^1 \frac{t}{(1+t^2-t)^2} dt =\ldots= \frac{8}{9} \sqrt{3} \int_0^{\frac{1}{\sqrt{3}}} \frac{du}{(1+u^2)^2} =\ldots=\frac{1}{3}+\frac{2}{27}\pi \sqrt{3} \end{eqnarray}$
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12.01.2017, 17:59	Knightfire66	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folgende Reihe auf Konvergenz untersuchen (n!²)/((2n)!) kommt vielleicht etwas zu spät aber von dem verstehe ich nur bahnhof... ich weiß das sollte etwas leichter aussehen und allg. wie kommt man da auf integral... ich weiß es zwar nicht aber ich denke du hast da paar Fehler drin... (wenns doch richtig ist bitte net sauer sein --- bin nicht so ein pro) ich wollte eher auf sowas raus: bringt das euch was bei der Lösung... ich check das nicht so wie das mit Fakultät kürzen funktioniert... [attach]43595[/attach]
13.01.2017, 09:16	Matt Eagle	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folgende Reihe auf Konvergenz untersuchen (n!²)/((2n)!) Nachdem die entscheidenden Hinweise für die Klärung der Konvergenzfrage bereits gegeben wurden wollte ich nur ergänzend darauf hinweisen, dass man hier sogar in der Lage ist den exakten Reihenwert anzugeben. Offenbar ist dadurch etwas Verwirrung entstanden, die ich nun auflösen werde. Sei $\begin{eqnarray} a_n:=\frac {(n!)^2}{(2n)!}. \end{eqnarray}$ Dann bietet sich für die Untersuchung des Konvergenzverhaltens von $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty a_n \end{eqnarray}$ das Quotientenkriterium an, weil sich, wegen der multiplikativen Beschaffenheit der Summanden $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ , im zu betrachtenden Quotienten $\begin{eqnarray} \frac {a_{n+1}}{a_n} \end{eqnarray}$ sehr viel kürzen lässt. Es ist nämlich: $\begin{eqnarray} \frac {a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)^2}{(2(n+1))(2n+1)}=\frac{1+\frac 1n}{4+\frac 2n} \end{eqnarray}$ Damit lässt sich die Konvergenzfrage nun klar beanworten. Die exakte Berechnung des Grenzwertes wäre nun eine weitere Herausforderung, die Du zunächst mal beseite lassen und vielleicht im Hinterkopf behalten kannst...

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