Konvergenz von Reihe

28.12.2016, 21:21

wosw

Konvergenz von Reihe

Meine Frage:
Wie kann ich die Konvergenz der Reihe:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{n^{2}}{n^{4}-n^{2}+1} \end{eqnarray*}$
zeigen?

Meine Ideen:
habe das wurzel und das quotientenkrit angewandt, komme aber auf 1, also keine Aussage...
Habe bei schwierigeren Reihen immer wieder Probleme.. suche momentan nach irgenwas zum quetschen, komme dabei aber auch immer auch 1 mit beiden kriterien.
Danke im Voraus für eure Hilfe smile

28.12.2016, 21:25

dggggg

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Suche eine konvergente Majorante.

28.12.2016, 21:31

wosw

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hab ich gemacht, habe $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^{2}} \end{eqnarray*}$ genommen und komme dabei wieder auf 1 beim QK... unglücklich

vielleicht stell ich mich da ein bischen blöd an, weiß auch nicht :/

28.12.2016, 21:39

wosw

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oh man ich habs gefunden die Reihe
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{1}{n^{2}} \end{eqnarray*}$
konvergiert gegen $\begin{eqnarray*} \frac{\pi^{2}}{6} \end{eqnarray*}$
hab das aber nur aus massmatics.de/merkzettel/#!166:Wichtige_Reihen_und_ihre_Grenzwerte
gibts da nicht noch eine möglichkeit wie ich da in einer Prüfung drauf kommen kann? Kann das ja nicht alles auswendig parat haben..

28.12.2016, 22:03

mom23

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wie sieht denn deine Abschätzung aus ? Du wählst die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{n^{2}} \end{eqnarray*}$ als Konvergente Majorante jedoch muss du erstmal zeigen das
die gegebene Reihe kleiner ist als die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{n^{2}} \end{eqnarray*}$ . Das diese Reihe Konvergent ist kannst du wiederum wieder mit der Majorante zeigen. Stichwort:Teleskopsumme

28.12.2016, 22:29

Matt Eagle

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RE: Konvergenz von Reihe
Die Konvergenz von $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac 1{n^2} \end{eqnarray*}$ sieht man wie folgt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^n \frac 1{k^2}\leq\sum_{k=2}^n \frac 1{k(k-1)}=\sum_{k=2}^n \left(\frac 1{k-1}-\frac 1k\right)=1-\frac 1n. \end{eqnarray*}$

28.12.2016, 22:31

Clearly_wrong

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Zitat:

Kann das ja nicht alles auswendig parat haben..

Doch, genau das wird erwartet und ist auch nicht zu viel verlangt. Es gibt ein paar Reihentypen, von denen man einfach wissen muss, ob sie konvergieren oder nicht, sonst dauert das in einer Prüfung zu lang. Das sind vielleich 2-4 Reihentypen, die wird man sich doch merken können. Dazu gehören u.A.:

Die Reihe $\begin{align*} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha} \end{align*}$ konvergiert genau dann wenn $\begin{align*} \alpha > 1. \end{align*}$
Die Reihe $\begin{align*} \sum_{n=0}^\infty q^n \end{align*}$ konvergiert genau dann, wenn $\begin{align*} |q|<1. \end{align*}$

Ergänzungen willkommen.

28.12.2016, 23:55

wosw

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Zitat:

Original von mom23
wie sieht denn deine Abschätzung aus ? Du wählst die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{n^{2}} \end{eqnarray*}$ als Konvergente Majorante jedoch muss du erstmal zeigen das
die gegebene Reihe kleiner ist

Stimmts doch so?
$\begin{eqnarray*} <br /> \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{n^{2}}{n^{4}-n^{2}+1}= \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{n^{2}-1+\frac{1}{n^{2}} }\leq \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{n^{2}} <br /> \end{eqnarray*}$
Danke für den Tipp mit der Teleskopsumme, aber das was du meintest wurde eben unter deiner Antwort von Matt Eagle geschrieben, auf die Umformung währ ich aber ehrlich gesagt glaub eh nicht gekommen, sie kommt mir aber sehr bekkannt vor Freude

02.01.2017, 09:53

klarsoweit

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Zitat:

Original von wosw
Stimmts doch so?
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{n^{2}}{n^{4}-n^{2}+1}= \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{n^{2}-1+\frac{1}{n^{2}} }\leq \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{n^{2}} \end{eqnarray*}$

Offensichtlich stimmt die Ungleichung $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^2-1+\frac{1}{n^2}} \leq \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ nicht für alle n, wie man leicht am Beispiel n=2 sieht. Augenzwinkern

So könnte man es machen: $\begin{eqnarray*} \frac{n^2}{n^4 - n^2 +1} \leq \frac{n^2}{n^4 - \frac 1 2 n^4} = \frac{2}{n^2} \end{eqnarray*}$ smile

02.01.2017, 10:22

HAL 9000

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Eine passende Vorgehensweise für alle Reihen mit gebrochen rationalen Reihengliedern, und noch viele weitere verwandt strukturierte Reihen, bei der man sich nicht mit derlei Abschätzungen plagen muss:

Zitat:

Findet man eine Darstellung $\begin{align*} \sum_n n^p\cdot f(n) \end{align*}$ mit einer Funktion $\begin{align*} f \end{align*}$ mit existentem Grenzwert $\begin{align*} g=\lim_{n\to\infty} f(n)\neq 0 \end{align*}$ , so zeigt die Reihe dasselbe Konvergenzverhalten wie die Standardreihe $\begin{align*} \sum_n n^p \end{align*}$ , d.h., Konvergenz für $\begin{align*} p<-1 \end{align*}$ und Divergenz für $\begin{align*} p\geq -1 \end{align*}$ .

Der Beweis ist einfach und basiert darauf, dass sich für jedes $\begin{align*} \varepsilon>0 \end{align*}$ die Funktion $\begin{align*} f \end{align*}$ für $\begin{align*} n\geq n_0(\varepsilon) \end{align*}$ in dem Schlauch $\begin{align*} g-\varepsilon<f(n)<g+\varepsilon \end{align*}$ bewegt, speziell auch für $\begin{align*} \varepsilon=\frac{1}{2}|g| \end{align*}$ . Der Rest ist dann Majoranten- bzw. Minorantenkriterium.

Wie im Beweis ersichtlich, kann die Voraussetzung der Existenz des Grenzwertes $\begin{align*} \lim_{n\to\infty} f(n) \end{align*}$ abgeschwächt werden durch "Es gibt einen Index $\begin{align*} n_0 \end{align*}$ sowie positive reelle Zahlen $\begin{align*} a,b \end{align*}$ mit $\begin{align*} a\leq f(n)\leq b \end{align*}$ für alle $\begin{align*} n\geq n_0 \end{align*}$ ", die obige Aussage zum Konvergenzverhalten der Reihe behält dennoch ihre Gültigkeit. Letzteres ist dann z.B. auch für Reihen wie $\begin{align*} \sum_{n=1} \frac{2+\sin(n)}{n+e^{-n}} \end{align*}$ anwendbar.

EDIT: Ach ja, ganz vergessen: Im vorliegenden Fall haben wir $\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{n^4-n^2+1} = \sum_{n=1}^{\infty} n^{-2}\cdot f(n) \end{align*}$ mit $\begin{align*} f(n) = \frac{n^4}{n^4-n^2+1} \end{align*}$ und $\begin{align*} g=\lim_{n\to\infty} f(n) = 1 \end{align*}$ .

02.01.2017, 22:55

Mathe<3

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Hallo Klarsoweit,

Wie kommst du auf diese Abschätzung? verwirrt

03.01.2017, 08:49

klarsoweit

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Verstehe die Frage nicht. Stimmt denn etwas mit der Abschätzung nicht?

03.01.2017, 09:16

Mathe<3

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Doch bestimmt stimmt diese nur weiss ich nicht wie man drauf kommt Big Laugh

03.01.2017, 09:35

klarsoweit

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Nun ja, mit Blick auf das Nennerpolynom $\begin{eqnarray*} n^4-n^2+1 \end{eqnarray*}$ ist für große n das n^4 ausschlaggebend. Also Suche ich ein Polynom 4. Grades, das größer als n² - 1 ist und womit man dann die Abschätzung durchführen kann. Von $\begin{eqnarray*} (n^2-1)^2 + 1 \geq 0 \end{eqnarray*}$ ist man dann schnell bei $\begin{eqnarray*} \frac 1 2 n^4 \geq n^2 - 1 \end{eqnarray*}$ oder alternativ:

$\begin{eqnarray*} (n^2-1)^2 + 1 \geq 0 \Leftrightarrow 2n^4 - 2n^2 +2 \geq n^4 \Leftrightarrow n^4 - n^2 +1 \geq \frac 1 2 n^4 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

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