Folge/Reihe Quotientenkriterium

29.12.2016, 14:32

wosw

Folge/Reihe Quotientenkriterium

Habe die Reihe:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{n}{n+1}^{n^{^2}} \end{eqnarray*}$
mit dem Wurzelkrit komme ich auf 1,
mit dem quotientenkrit komme ich auf die folge:
$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^{2n^{^2}}n}{(n+2)^{n^{^2}}}*\frac{n+1}{n+2} \end{eqnarray*}$
der zweite teil geht offensichtlich gegen 1, ich weiß aber nicht wie ich die konvergenz bei dem ersten bruch der Folge zeigen kann :/
Das einzige was mir einfällt wäre der binomische Lehrsatz, das wär aber viel zu viel denke ich, das muss doch auuch anders gehen?

vielen dank schon mal smile

29.12.2016, 14:39

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Folge/Reihe Quotientenkriterium

Zitat:

Original von wosw
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{n}{n+1}^{n^{^2}} \end{eqnarray*}$

Ich deute das seltsam in der Luft schwebende $\begin{align*} n^2 \end{align*}$ mal so, dass du eigentlich $\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty}\left( \frac{n}{n+1}\right)^{n^2} \end{align*}$ meinst (den Reihenindex habe ich bei der Gelegenheit auch mit korrigiert).

Zitat:

Original von wosw
mit dem Wurzelkrit komme ich auf 1,

Das ist falsch.

29.12.2016, 14:59

wosw

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Folge/Reihe Quotientenkriterium
habs nachgerechnet und ich komme wieder auf 1
$\begin{eqnarray*} ((\frac{n}{n+1})^{n^{2}})^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$
irgendwie sehen meine klammern nicht richtig aus und ich kann keine n-te wurzel darstellen, habs dann halt mal so dargestellt, ich komme da aber auf:
$\begin{eqnarray*} (\frac{n}{n+1})^{n}=(\frac{1}{1+\frac{1}{n} })^{n} \end{eqnarray*}$
hab glaub gerade evtl meinen fehler gefunden,, habe mir gedacht wenn die basis <1 ist dann ists eine nullfolge, aber sie konvergiert ja von oben gegen eins, ist also immer>1, stimmt das dann so?

29.12.2016, 15:39

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von wosw
ich komme da aber auf:
$\begin{eqnarray*} (\frac{n}{n+1})^{n}=(\frac{1}{1+\frac{1}{n} })^{n} \end{eqnarray*}$

Richtig, aber dieser Term konvergiert nicht gegen 1, sondern gegen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$ .

Neue Frage »

Antworten »

Folge/Reihe Quotientenkriterium

Verwandte Themen