Dualraum / Isomorphismus / Basis

29.12.2016, 15:45	Statista	Auf diesen Beitrag antworten »
Dualraum / Isomorphismus / Basis Meine Frage: Wir betrachten die Basis (a1,a2,a3)=((1,1,1),(0,1,1),(0,0,1)) von $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ . Diese Basis liefert einen Isomorphismus $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ -> $\begin{eqnarray} a^ \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ in den Dualraum $\begin{eqnarray} \mathbb (R^3)^* \end{eqnarray}$ (das letzte R hier steht auch für alle reellen Zahlen). Berechnen Sie $\begin{eqnarray} (1,2,3)^((1,0,1)) \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Das Ergebnis soll 1 sein, aber ich habe keine Ahnung wie man sowas rechnet, also auch nicht, wie der Rechenweg aussehen muss.
29.12.2016, 17:27	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst nur $\begin{eqnarray} (1,0,1) \end{eqnarray}$ in der Basis $\begin{eqnarray} (a_1,a_2,a_3) \end{eqnarray}$ darstellen und darauf die Linearform $\begin{eqnarray} (1,2,3)^=(a_1^+2a_2^+3a_3^) \end{eqnarray}$ anwenden. Was man unter "dualer Basis von $\begin{eqnarray} V^ \end{eqnarray}$ einer Basis von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ " versteht, weißt Du ( Stichwort: Kronecker- $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray*}$ ) oder liest es nach (z.B. hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Dualraum ) Wenn man weiß, wie es geht, rechnet man so etwas sofort im Kopf aus. Das Ergebnis ist offenbar 2.

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