Grenzwert des Spektrums eines Operators

29.12.2016, 22:13	Yuho	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert des Spektrums eines Operators Meine Frage: Sei X ein komplexer Banachraum und T ein beschränkter Operator in X. Sei $\begin{eqnarray} \lambda_0 \in C \end{eqnarray}$ sodass $\begin{eqnarray} T-\lambda_0 \end{eqnarray}$ nicht invertierbar in $\begin{eqnarray} B(x) \end{eqnarray}$ ist. Wir können annehmen, dass $\begin{eqnarray} \lambda_0 \end{eqnarray}$ ein Grenzwert des Spektrums von T ist. Zeige, dass $\begin{eqnarray} lim_{n \to \infty} \|\|(T-\lambda_n)^{-1}\|\| = \infty \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Was ich mich überlegt hab, ich muss zeigen, dass es eine Folge $\begin{eqnarray} \{\lambda_n\} \in C \end{eqnarray}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray} lim_{n \ \infty} \lambda_n = \lambda_0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} T-\lambda_n \end{eqnarray}$ ist invertierbar in B(X) für alle $\begin{eqnarray} n \geq 1 \end{eqnarray}$ Leider scheitere ich aber, wie ich das zeigen kann
29.12.2016, 22:25	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Yuho, die Frage ist nicht sinnvoll gestellt. In der Frage taucht eine Folge $\begin{eqnarray} (\lambda_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray}$ auf, die nicht eingeführt ist, bei deinen Ideen, schreibst du dann, dass du zeigen sollst, das sowas existiert? Kannst du bitte einmal die Aufgabenstellung im Originalwortlaut wiedergeben? Kann es sein, dass $\begin{eqnarray} \lambda_n \end{eqnarray}$ Punkte aus der Resolventenmenge sind, für die $\begin{eqnarray} \lambda_n\to\lambda_0 \end{eqnarray}$ gilt und für diese Folge soll man die Eigenschaft nachweisen?
30.12.2016, 10:53	Yuhe	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir haben eine Englische Aufgabe und ich dachte, dass ich es gut übersetzt habe... aber ja ganz genau, dass soll man zeigen, soweit ich dass verstanden habe.
30.12.2016, 11:07	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber dir muss doch aufgefallen sein, dass die Folge $\begin{eqnarray} (\lambda_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray}$ in deiner Übersetzung irgendwie vom Himmel fällt? Du kannst bei sowas in Zukunft ja einfach den Originaltext mit angeben. In Banachräumen gilt das folgende: Wenn $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ein invertierbarer Operator ist, dann ist auch jeder Operator $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \\|B-A\\|< \frac{1}{\\|A^{-1}\\|} \end{eqnarray}$ invertierbar. Vielleicht kennst du diese Aussage schon. Falls nicht, beweise sie mit Hilfe der Neumann-Reihe. Da $\begin{eqnarray} T-\lambda_n \end{eqnarray}$ invertierbar ist, $\begin{eqnarray} T-\lambda_0 \end{eqnarray}$ aber nicht, bekommst du mit dieser Aussage eine Normabschätzung für die Differenz dieser beiden Operatoren.
30.12.2016, 11:21	Yuhe	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deinen Tipp. Dh. mit dieser Aussage kann geschrieben werden: $\begin{eqnarray} \\|T- \lambda_n -T + \lambda_0 \\| > \frac {1}{\\|(T-\lambda_n)^{-1}\\|} \end{eqnarray}$ nach umformen erhalte ich $\begin{eqnarray} \\|(T-\lambda_n)^{-1}\\|> \frac {1}{\\|\lambda_0 - \lambda_n\\|} \end{eqnarray}$ Da $\begin{eqnarray} \lambda_n \end{eqnarray}$ ja gegen $\begin{eqnarray} \lambda_0 \end{eqnarray}$ konvergrert, konvergiert die rechte Seite der Ungleichung gehen $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ und somit erhalten wir die Aussage. Passt das so? Oder übersehe ich da einen wichtigen Punkt?
30.12.2016, 11:29	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Es müssten $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ -Zeichen sein, ansonsten korrekt
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30.12.2016, 11:31	Yuhe	Auf diesen Beitrag antworten »
Achja stimmt, vielen Dank

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