Aus konvergenter Reihe Konvergenz anderer Reihe folgern

29.12.2016, 22:36

wosw

Aus konvergenter Reihe Konvergenz anderer Reihe folgern

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty n} a_{n} \end{eqnarray*}$ ist konvergent $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2} \end{eqnarray*}$ ist konvergent

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} |a_{n}| \end{eqnarray*}$ ist konvergent $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2} \end{eqnarray*}$ ist konvergent

mir fehlt hier der Ansatz, habe ähnliche aufgaben eig nur mit Gegenbeispielen gelöst, da hab ich hier Probleme, evtl. weil die sogar auch noch stimmen? Kann mir dass aber hier nicht vorstellen, es muss doch welche geben(ansonsten währen dass doch Majoranten oder Minoranten oder irgendein Trick der in der Vorlesung behandelt werden würde)? Über die Kriterien bin ich auch auf nichts gekommen.

29.12.2016, 22:43

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Für die erste Aussage würde ich ein Gegenbeispiel suchen. Probier's mal mit einer alternierenden Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_n \end{eqnarray*}$ .

Tipp zur zweiten Aussage: Wenn $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} |a_{n}| \end{eqnarray*}$ konvergiert, muss $\begin{eqnarray*} (|a_n|)_n \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge sein; es gibt also ein $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} |a_n|\leq 1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq N \end{eqnarray*}$ gilt.
Jetzt geht's weiter mit dem Majorantenkriterium.

29.12.2016, 22:59

wosw

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke 10001000Nick1!
Die erste ist ja doch ganz einfach.
und bei der zweiten bin ich mir immer noch nicht sicher, ich habe dann eine Nullfolge, die kann ich dann ja quadrieren und habe immer noch eine Nullfolge, denn die Basis wird <1 werden.
Das reicht ja aber nicht als Beweis, das meintest du sicher auch nicht so, wegen deinem Tipp Majorantenkriterium, ich weiß aber nicht genau wohin damit.

29.12.2016, 23:34

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Noch ein Tipp: Aus $\begin{eqnarray*} 0\leq a\leq 1 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} a^2\leq a \end{eqnarray*}$ .

Und nur aus Interesse: Welches Gegenbeispiel hast du bei der ersten gefunden?

30.12.2016, 00:31

wosw

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von 10001000Nick1
Und nur aus Interesse: Welches Gegenbeispiel hast du bei der ersten gefunden?

habe als gegenbeispiel einfach $\begin{eqnarray*} a_n=-1^{n} \end{eqnarray*}$ genommen.
Wegen der zweiten Folge kann ich leider erst morgen mittag weitersehen, werde dann antworten sobald ich kann, danke nochmal Freude

03.01.2017, 11:50

wosw

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von 10001000Nick1
Noch ein Tipp: Aus $\begin{eqnarray*} 0\leq a\leq 1 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} a^2\leq a \end{eqnarray*}$ .

Ist zwar jetzt schon tage her, aber bin darauf gekommen dass die zweite folge im fall dass die erste folge konvergiert eine minorante ist, denn dann ist die basis <1 für die meisten n.

03.01.2017, 12:00

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von wosw
habe als gegenbeispiel einfach $\begin{eqnarray*} a_n=-1^{n} \end{eqnarray*}$ genommen.

Erstens meinst du damit vermutlich $\begin{eqnarray*} a_n=(-1)^{n} \end{eqnarray*}$ . Und zweitens ist das kein Gegenbeispiel zur obigen ersten Aussage, weil hier sowohl $\begin{eqnarray*} \sum_n a_n \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} \sum_n a_n^2 \end{eqnarray*}$ divergieren. unglücklich

Du benötigst ein Beispiel, wo $\begin{eqnarray*} \sum_n a_n \end{eqnarray*}$ konvergiert und zugleich $\begin{eqnarray*} \sum_n a_n^2 \end{eqnarray*}$ divergiert!

Neue Frage »

Antworten »

Aus konvergenter Reihe Konvergenz anderer Reihe folgern

Verwandte Themen