Dimensionsformel bei Linearen Abbildungen

31.12.2016, 10:51

Mr1

Dimensionsformel bei Linearen Abbildungen

Meine Frage:

Hallo, ich brauche ganz dringend Rat bei folgender Aufgabe..

Seien V, W K-Vektorräume,

$\begin{eqnarray*} U\subset V \end{eqnarray*}$ Untervektorraum und

F lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} F: V \Rightarrow W \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} dim(F^{-1} (U) = dim(U\cap Im(F)) + dim(Ker(F)) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Hatte erstmal gedacht, dass ich eine allgemeine Basis für (U schneidet Im(F)) und für Ker(F) formuliere und das ganze dann versuche in eine Basis für $\begin{eqnarray*} dim(F^{-1} (U) \end{eqnarray*}$ überführe, was aber nicht so ganz geklappt hat wie ich es mir vorgestellt habe..

Dann habe ich gelesen, dass ich eine andere Lineare Abbildung H als Einschränkung von F formulieren könnte, wo ich H: U -> W betrachte und sich daraus die einfache Dimensionsformel Dim(V) = Dim(Im(H)) + Dim(Ker(H)) ableiten lässt, aber ich verstehe nicht wie das funktionieren soll..

Ich hoffe ihr könnt mir helfen

31.12.2016, 11:08

Elvis

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Die Formel stimmt nicht, denn U ist ein UVR von V und Im(F) ist ein UVR von W. Für V ungleich W ist also der Durchschnitt von U und Im(F) leer, also kein VR, hat also keine Dimension. Außerdem ist das Urbild von U unter F nicht definiert, ist also auch kein VR, hat also auch keine Dimension.

31.12.2016, 11:13

Mr1

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Zitat:

Original von Elvis
Die Formel stimmt nicht, denn U ist ein UVR von V und Im(F) ist ein UVR von W. Für V ungleich W ist also der Durchschnitt von U und Im(F) leer, also kein VR, hat also keine Dimension. Außerdem ist das Urbild von U unter F nicht definiert, ist also auch kein VR, hat also auch keine Dimension.

Tut mir Leid, ich habe mich vertippt! U ist UVR von W

31.12.2016, 12:50

Elvis

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Na schön, was willst Du nun beweisen ? Und wie definierst Du die Abbildung H ?

Tipp: wenn du beweisen kannst, dass $\begin{eqnarray*} F^{-1}(U)=F^{-1}(Im(F)\cap U) \end{eqnarray*}$ gilt, bist Du fast fertig.

31.12.2016, 17:30

Mr1

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Zitat:

Original von Elvis
Na schön, was willst Du nun beweisen ? Und wie definierst Du die Abbildung H ?

Tipp: wenn du beweisen kannst, dass $\begin{eqnarray*} F^{-1}(U)= F^{-1}(Im(F)\cap U) \end{eqnarray*}$ gilt, bist Du fast fertig.

Ich habe die Abbildung wie folgt definiert:

H:. $\begin{eqnarray*} F^{-1}(U)\Rightarrow F^{-1}(Im(F)\cap U) , v \Rightarrow F(v) \end{eqnarray*}$

Und diese ist ja surjektiv, denn U schneidet Bild F ist ja logischerweise eine Teilmenge bzw UVR von U. Dementsprechend können alle Elemente aus dem Schnitt von dem Urbild von U mind. 1x erreicht werden bzw kann man zu jedem Element aus dem Schnitt mind. ein Urbild aus F^(-1)(U) angeben.

Und die eigentliche Dimensionsformel lautet bei linearen Abbildungen ja
Dim V = Dim( Im(F) ) + Dim( Ker (F) )

Daher könnte ich dann doch die Dimension vom Schnitt auch als Dim(Im(F)) angeben oder? Dann müsste ich nur noch zeigen, dass Dim(Ker(F)) = Dim(Ker(H)) ist oder?

Was dann ja auch passen würde denn beide Dimensionen beziehen sich doch auf denselben Kern, nämlich den der in $\begin{eqnarray*} F^{-1} (U) \subset V \end{eqnarray*}$ enthalten ist oder?

Ist meine Argumentation so in Ordnung oder muss ich das nochmal Anhand von irgendwelchen Elementen beweisen, dass Ker H = Ker F ist?

31.12.2016, 18:05

Elvis

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Das passt noch nicht ganz, das enthält Fehler und Lücken. Das muss noch besser werden, denn ein Beweis mit Fehlern ist kein Beweis, und ein halber Beweis ist auch kein ganzer Beweis.

01.01.2017, 11:00

Mr1

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Zitat:

Original von Elvis
Das passt noch nicht ganz, das enthält Fehler und Lücken. Das muss noch besser werden, denn ein Beweis mit Fehlern ist kein Beweis, und ein halber Beweis ist auch kein ganzer Beweis.

Könntest du sagen, wo die Fehler und Lücken liegen, damit ich nochmal genauer darüber nachdenken kann?

01.01.2017, 11:48

Elvis

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Ich gebe dir 3 konstruktive Hinweise, die Du in dieser Reihenfolge nacheinander abarbeiten darfst.

1. Hilfssatz : Sei $\begin{eqnarray*} f:N\to M \end{eqnarray*}$ eine Abbildung und $\begin{eqnarray*} A,B\subseteq M \end{eqnarray*}$ Teilmengen von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} f^{-1}(A\cap B)=f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B) \end{eqnarray*}$
2. Satz : Ist $\begin{eqnarray*} F:V\to W \end{eqnarray*}$ eine lineare Abbildung, dann ist $\begin{eqnarray*} F^{-1}(U)=F^{-1}(Im(F)\cap U) \end{eqnarray*}$
3. Wende die Dimensionsformel an auf $\begin{eqnarray*} H=F|F^{-1}(U) \end{eqnarray*}$

01.01.2017, 21:34

Mr1

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Zitat:

Original von Elvis
Ich gebe dir 3 konstruktive Hinweise, die Du in dieser Reihenfolge nacheinander abarbeiten darfst.

1. Hilfssatz : Sei $\begin{eqnarray*} f:N\to M \end{eqnarray*}$ eine Abbildung und $\begin{eqnarray*} A,B\subseteq M \end{eqnarray*}$ Teilmengen von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} f^{-1}(A\cap B)=f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B) \end{eqnarray*}$
2. Satz : Ist $\begin{eqnarray*} F:V\to W \end{eqnarray*}$ eine lineare Abbildung, dann ist $\begin{eqnarray*} F^{-1}(U)=F^{-1}(Im(F)\cap U) \end{eqnarray*}$
3. Wende die Dimensionsformel an auf $\begin{eqnarray*} H=F|F^{-1}(U) \end{eqnarray*}$

Vielen vielen Dank! smile

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