Volumen Zylinder Normalgebiet

31.12.2016, 13:10

GOLFMKI

Volumen Zylinder Normalgebiet

Die Aufgabe mit den Fragestellungen habe ich unten angehängt.

Die einzige Überlegung ist, dass ich einen Zylinder gegeben habe welcher mit der Höhe auf der x-Achse liegt.
Und nun wird er von einer e-Funktion geschnitten. Nun weiß ich nicht wie ich mein Gebiet für Aufgabenteil 1 beschreiben soll.
Kann man hier eventuell tricksen und nur das Volumen von dem Zylinder berechnet, dann das Volumen der Funktion und die voneinander abziehen?
Die e-Funktion irritiert mich irgendwie und ich weiß auch gar nicht so recht wie ich anfangen soll...
Ich habe keinen Ansatz für die Aufgabe.

Freue mich über jede Hilfe !

LG
Patrick

01.01.2017, 13:41

10001000Nick1

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RE: Volumen Zylinder Normalgebiet

Zitat:

Original von GOLFMKI
Kann man hier eventuell tricksen und nur das Volumen von dem Zylinder berechnet, dann das Volumen der Funktion und die voneinander abziehen?

Nein, das funktioniert nicht. Schon deswegen, weil der Zylinder unendlich hoch ist, also Volumen 'unendlich' hat. Und was soll das Volumen der Funktion sein?

Ich würde hier in Zylinderkoordinaten rechnen. Ist dir bekannt, was das ist und wie man von kartesischen in Zylinderkoordinaten bzw. umgekehrt umrechnet?

02.01.2017, 08:29

GOLFMKI

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Hallo, danke für den Hinweis! Ja habe nun alles transformiert und im Integralausdruck als Determinante (Korrekturfaktor) mein r für den Radius aufgeschreiben.

Nur wie krieg ich das Gebiet beschrieben? Weil eine Idee wäre von mir gewesen die Nullstellen der e-Funktion zu berechnen, die es aber gar nicht gibt weil diese nicht zu Null wird. Auch wenn ich ein Potenzgesetz anwende auf die e-Funktion ändert sich nichts.

Ich habe keine Ahnung wie ich das weiter angehen könnte...

LG
Patrick

02.01.2017, 10:37

Ehos

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Damit man die üblichen Zylinderkoordinaten anwenden kann, sollt man den Zylinder um 90° drehen. Danach liegt dessen Symmetrieachse auf der z-Achse. Der "Boden" des Zylinders liegt auf der xy-Ebene und der gekrümmte "Deckel" ist die Fläche

$\begin{eqnarray*} z=\exp\underbrace{(r^2)}_{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$

Die Dichteverteilung ist (nach der Drehung) die Funktion

$\begin{eqnarray*} \rho=\underbrace{r^2\cos^2(\phi)}_{x^2} \end{eqnarray*}$

Demnach ist die Masse des Zylinders folgendes Integral:

$\begin{eqnarray*} m=\int_{\phi =0}^{2 \pi} \int_{r=0}^{2} \int_{z=0}^{\exp(r^2)} \underbrace{r^2\cos^2(\phi)}_{\text{Dichte }\rho=x^2}\cdot \underbrace{r\,\,dz dr d \phi}_{dV} \end{eqnarray*}$

02.01.2017, 11:22

GOLFMKI

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Vielen Dank! Das mit der Drehung hat mir einfach gefehlt als Überlegung!
Sollte ich immer bei Objekten die schief im Raum liegen, wie bei diesem Fall, diese immer zu aller erst transformieren zu den normalen Achsen?

Danke und lieben Gruß
Patrick

02.01.2017, 12:12

Ehos

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Prinzipiell sollte man das geometrische Objekt immer so in das Koordinatensystem legen, dass die Rechnung so einfach wie möglich wird. In deiner Aufgabe lag der Zylinder nicht "schief". Er war nur um 90° verdreht, so dass man folgende "verdrehten" Zylinderkoordinaten verwenden müsste, welche unüblich sind

$\begin{eqnarray*} x_1=x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2=r\cos(\phi) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_3=r\sin(\phi) \end{eqnarray*}$

Ich habe alle um 90° gedreht, so dass man die üblichen Zylinderkoordinaten verwenden kann:

$\begin{eqnarray*} x_1=r\cos(\phi) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2=r\sin(\phi) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_3=z \end{eqnarray*}$

Beachte, dass du nach der Berechnung des Schwerpunkt-Koordinaten diese wieder in das "alte" Koordinatensystem zurückdrehen musst. Sonst wird das Ergebnis formal falsch, obwohl es eigentlich richtig ist.

10.01.2017, 21:47

GOLFMKI

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Nochmal darauf zurückzukommen. Ändern sich durch die Drehung auch die Reihenfolge meiner Integrationsgrenzen? Ich hatte über dzdrd(teta) integriert. In der Musterlösung die ich erhalten habe ist über dxd(teta)dr integriert worden, die aber auch nicht das Objekt gedreht haben, sondern den Zylinder mit der Höhe in der x-Achse liegen gelassen haben.

Woher weiß ich welche Reihenfolge die richtige ist?
Und ist die Reihenfolge wichtig? Wenn ja warum? Denn das Volumen dürfte sich ja nicht ändern, oder doch? Bin dabei noch sehr unsicher...

Freue mich über jede Antwort!

11.01.2017, 13:10

Ehos

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Ob du den Zylinder drehst oder nicht, ist im Prinzip egal. Ich habe ihn gedreht, um die üblichen Zylinderkoordinaten $\begin{eqnarray*} r, \phi, z \end{eqnarray*}$ verwenden zu können. Du schreibst, dass in deiner Musterlösung die Koordinaten $\begin{eqnarray*} x, \theta, r \end{eqnarray*}$ verwendet wurden. Im Prinzip sind das die gleichen Zylinderkoordinaten - allerding für das gedreht Koordinatensystem. Weil in der Musterlösung die Symmetrieachse nicht die z-Achse, sondern die x-Achse ist, kommt die Umbenennung $\begin{eqnarray*} x \rightarrow z \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \theta \rightarrow \phi \end{eqnarray*}$ zustande. Das ist aber unwesentlich, weil es nur eine Umbenennung der Variablen-Namen ist.

Die Reihenfolge bei der Integration ergibt sich wie folgt: Man integriert immer zuerst über diejenigen Variablen, deren Grenzen noch von den anderen Integrationsvariablen abhängen. Zuletzt integriert man über die Variable, deren Integrationsgrenzen konstant sind!

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