Tschebyscheffsche Ungleichung/Zentraler Grenzwertsatz

01.01.2017, 16:03

Jomiala

Tschebyscheffsche Ungleichung/Zentraler Grenzwertsatz

Meine Frage:
Sei X die zufällige Länge eines Werkstücks. E(X) = sei unbekannt. Erfahrung hat allerdings gezeigt,
dass sigma² = D²(X) = 0,01 angenommen werden kann. Mit Hilfe einer Messreihe X1;-;Xn, unabhängig (i.i.d.), soll durch X(durchschnitt) = Sn/n geschätzt werden, wobei Sn := \sum\limits_{k=1}^{n} Xk. Bestimmen
Sie N \in \mathbb N , so dass P(|X(durchschnitt)-Erwartungswert| < 0,01) \geq 99% für alle n \geq N unter Zuhilfenahme
(a) der Tschebyscheffschen Ungleichung.
(b) des Zentralen Grenzwertsatzes.

Meine Ideen:
Ich habe soweit verstanden, dass gesucht wird, wie viele n (also Stichproben) man machen muss, damit die Differenz zwischen X(durchschnitt) und dem Erwartungswert mit einer Wahrscheinlichkeit von 99% kleiner als 0,01 ist. X(Durchschnitt) müsste ja an sich auch binomialverteilt sein, aber mir ergibt sich nicht wie man daraus nun etwas errechnen kann. Die Tschebyscheffsche Ungleichung ist ja lediglich eine Abschätzung, da kann man ja soweit ich weiß nichts umstellen.
Mein einziger Ansatz wäre eine Normalverteilung mit einem ausgedachten Erwartungswert aufzustellen, aber da bringt dann ja die Tschebyscheffsche Ungleichung nichts mehr.

Ich würde mich also über Hilfe sehr freuen,
mit freundlich Grüßen,
Jonas

Ps: im Anhang die Aufgabe als Png, falls das mit dem Eingeben nicht ganz geklappt hat

02.01.2017, 11:03

HAL 9000

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Zitat:

Original von Jomiala
X(Durchschnitt) müsste ja an sich auch binomialverteilt sein

Nein.

Zitat:

Original von Jomiala
Die Tschebyscheffsche Ungleichung ist ja lediglich eine Abschätzung, da kann man ja soweit ich weiß nichts umstellen.

Die Grundidee ist die folgende: Laut Tschebyscheff ist ja

$\begin{align*} P\left( \left| \bar{X}-E(\bar{X})\right| < \varepsilon \right) \geq 1-\frac{V(\bar{X})}{\varepsilon^2} \end{align*}$ bzw. auf die Grundverteilung umgeschrieben

$\begin{align*} P\left( \left| \bar{X}-E(X)\right| < \varepsilon \right) \geq 1-\frac{V(X)}{n\varepsilon^2} = 1-\frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2} \end{align*}$

Ist nun bereits die rechte Seite $\begin{align*} \geq 0.99 \end{align*}$ , so aufgrund dieser Ungleichung erst recht auch die linke Seite! Also bestimmt man ein $\begin{align*} n \end{align*}$ , so dass $\begin{align*} 1-\frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2} \geq 0.99 \end{align*}$ gilt. Augenzwinkern

Der andere Weg über die Normalverteilungsapproximation basiert darauf, dass nach zentralem Grenzwertsatz der Durchschnitt $\begin{align*} \bar{X} \end{align*}$ näherungsweise normalverteilt $\begin{align*} \mathcal{N}\left(E(X),\frac{\sigma^2}{n}\right) \end{align*}$ ist. Das hierbei erzielte $\begin{align*} n \end{align*}$ wird ein ganzes Stück niedriger sein als das mit Tschebyscheff erzielte, dafür ist es nicht 100%ig sicher (wg. Approximationsfehler).

02.01.2017, 15:15

Jomiala

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Hi Hal und vielen Dank für die Hilfe!

ich muss zugeben, von der Grundverteilung habe ich noch nie etwas gehört, bedeutet dass einfach das man
$\begin{eqnarray*} \sigma^{ 2 }=\frac{ \sigma^{ 2 } }{ n } \end{eqnarray*}$
schreiben kann?
Nach der Umstellung ergibt sich ja bei a ein n von mindestens 10.000, aber bei b habe ich immer noch Probleme. Setzte ich $\begin{eqnarray*} \frac{ \sigma^{ 2 } }{ n } \end{eqnarray*}$ in die Intervallwahrscheinlichkeit für Normalverteilungen ein, bekomme ich eine Gleichung die nicht aufgeht. Ich habe auch versucht das ganze über Integrale zu rechnen, bin da aber bloß auf komplexe Zahlen gekommen.
Also bis hierhin schon mal vielen Dank, würde mich aber über einen erneuten Denkanstoß freuen smile

Mfg, Jonas

02.01.2017, 15:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von Jomiala
ich muss zugeben, von der Grundverteilung habe ich noch nie etwas gehört

Vergiss den Begriff - ich meinte damit nur die Verteilung von $\begin{align*} X \end{align*}$ (im Unterschied zur Verteilung des Durchschnitts $\begin{align*} \bar{X} \end{align*}$ hatte ich das Attribut "Grund" angefügt, "Grund" wie "Grundgesamtheit"). Grundverteilung ist kein Fachbegriff, der hier irgendwie zum Verständnis nötig ist.

P.S.: Ich habe anscheinend ein besonderes Geschick, dass sich Fragesteller an völlig unwichtigen Begriffen "hochziehen", die ich doch nur gutgemeint als zusätzliche Benennung angefügt habe - vielleicht achte ich in Zukunft besser darauf. Manchmal kommt es mir aber so vor, als suchen manche nach ihnen nicht bekannten Begriffen im Text, um diese als Alibi zu nehmen "ach deswegen konnte ich es nicht verstehen". unglücklich

Zitat:

Original von Jomiala
bedeutet dass einfach das man
$\begin{eqnarray*} \sigma^{ 2 }=\frac{ \sigma^{ 2 } }{ n } \end{eqnarray*}$
schreiben kann?

Nein, gewiss nicht. Diese Formel ist so oder so unsinnig falsch, zumindest für n>1.

Zitat:

Original von Jomiala
aber bei b habe ich immer noch Probleme. Setzte ich $\begin{eqnarray*} \frac{ \sigma^{ 2 } }{ n } \end{eqnarray*}$ in die Intervallwahrscheinlichkeit für Normalverteilungen ein, bekomme ich eine Gleichung die nicht aufgeht. Ich habe auch versucht das ganze über Integrale zu rechnen, bin da aber bloß auf komplexe Zahlen gekommen.

Wieso "komplexe Zahlen" ??? Erstaunt1

Basierend auf $\begin{align*} \bar{X}\sim \mathcal{N}\left(E(X),\frac{\sigma^2}{n}\right) \end{align*}$ gilt doch

$\begin{align*} P\left( \left|\bar{X}-E(X)\right| < \varepsilon\right) = P\left( E(X)-\varepsilon < \bar{X} < E(X)+\varepsilon\right) = \Phi\left( \frac{E(X)+\varepsilon-E(X)}{\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}} \right) - \Phi\left( \frac{E(X)-\varepsilon-E(X)}{\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}} \right) = \Phi\left( \frac{\varepsilon}{\sigma}\sqrt{n} \right) - \Phi\left( -\frac{\varepsilon}{\sigma}\sqrt{n} \right) = 2\Phi\left( \frac{\varepsilon}{\sigma}\sqrt{n} \right) - 1 \end{align*}$

und das ganze mit $\begin{align*} \sigma=0.1 \end{align*}$ und $\begin{align*} \varepsilon=0.01 \end{align*}$ . Es ist also noch Ungleichung $\begin{align*} 2\Phi\left( 0.1\sqrt{n} \right) - 1 \geq 0.99 \end{align*}$ nach $\begin{align*} n \end{align*}$ aufzulösen.

02.01.2017, 17:21

Dopap

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Zitat:

Original von Jomiala

ich muss zugeben, von der Grundverteilung habe ich noch nie etwas gehört, bedeutet dass einfach das man
$\begin{eqnarray*} \sigma^{ 2 }=\frac{ \sigma^ 2 }{ n } \end{eqnarray*}$

hier fehlt es an Genauigkeit. Von dem mal abgesehen, dass die "s" verkehrt herum sind, verbietet sich eine solche Gleichung.
Vielleicht so: $\begin{align*} \sigma_{\overline X}^2=\frac{\sigma^2}{n} \end{align*}$ ?

Welche Probleme ergeben sich denn beim Einsetzen ?

02.01.2017, 17:29

Jomiala

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Aaaah okay, ich hab da einen Umstellfehler gemacht, habe sozusagen a-1-a statt a-(1-a) gerechnet. Dann müsste bei b also ca 663,06 rauskommen, oder?
Bezüglich $\begin{eqnarray*} \sigma^{ 2 }=\frac{ \sigma^{ 2 } }{ n } \end{eqnarray*}$ ,oder halt auch eben nicht, habe ich die Herleitung immer noch nicht ganz verstanden. Ich würde gerne nachvollziehen können wo das n herkommt, damit ich es auch wirklich anwenden kann. In der ersten Antwort wirkte es halt so als ob man das n einfach hinzufügen könnte, worüber ich mich gewundert hatte, ist ja anscheinend auch nicht der Fall.
Bis hierhin also schon mal vielen, vielen Dank, hat mir sehr weitergeholfen! smile

Mfg, Jonas

Edit: Okay, nach den Beitrag vor mir hat sich das ganze wohl geklärt, danke smile

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