Residuum von sin(exp(1/z))

02.01.2017, 09:33

steph88

Residuum von sin(exp(1/z))

Ich hänge gerade bei der Berechnung eines Residuums fest.

Geg. ist f(z)=sin(exp(1/z)) und gefragt ist nach der Singularität, deren Art und Residuum

Klar ist mir, dass die Funktion eine wesentliche Singularität an der Stelle z=0 hat.

Nur das Residuum macht mit Probleme. Mir ist auch klar dass ich hier den Koeffizienten zu $\begin{eqnarray*} z^{-1} \end{eqnarray*}$ betrachten muss.

Ich habe versucht mir über die ineinander geschachtelten Reihen des Sinus und der Exponentialreihe klar zu werden wie mein Koeffizient aussieht, komme da aber nicht weiter? Kann mir da einer helfen? Danke

02.01.2017, 09:45

IfindU

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RE: Residuum von sin(exp(1/z))

Zitat:

Original von steph88
Ich habe versucht mir über die ineinander geschachtelten Reihen des Sinus und der Exponentialreihe klar zu werden wie mein Koeffizient aussieht, komme da aber nicht weiter?

Das ist aber genau der richtige Ansatz. Es ist
$\begin{eqnarray*} f(z) = \sum_{k=0}^\infty \frac 1 { (2k+1)!} (-1)^k \exp( \frac { 2k + 1 } z ) \end{eqnarray*}$ .

Jetzt kann man recht leicht die Reihendarstellung von exp benutzen, und den Koeffizienten von $\begin{eqnarray*} \frac 1 z \end{eqnarray*}$ ablesen.

04.01.2017, 08:56

steph88

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RE: Residuum von sin(exp(1/z))
Danke für die Rückmeldung habe ,ich druch die Reihendarstellung druchgeboxt und inzwischen den Wert des Residuums als cos(1) erhalten.

04.01.2017, 10:21

IfindU

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RE: Residuum von sin(exp(1/z))
So viel war da doch nicht mehr zu tun.
Es ist $\begin{eqnarray*} \exp(w) = 1 + w + \dots \end{eqnarray*}$ , und damit
$\begin{eqnarray*} f(z) = \sum_{k=0}^\infty \frac 1 { (2k+1)!} (-1)^k \exp( \frac { 2k + 1 } z ) =\sum_{k=0}^\infty \frac 1 { (2k+1)!} (-1)^k \left( 1 + \frac { 2k +1 } z + \ldots\right) \end{eqnarray*}$ .

Damit ist der Koeffizient von $\begin{eqnarray*} \frac 1 z \end{eqnarray*}$ gegeben durch
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty \frac 1 { (2k+1)!} (-1)^k \cdot (2k +1) =\sum_{k=0}^\infty \frac 1 { (2k)!} (-1)^k = \cos(1) \end{eqnarray*}$ .

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