Positionsberechnung Plakatwechsler (Vitrine)

02.01.2017, 12:13

StudiMauer

Positionsberechnung Plakatwechsler (Vitrine)

Hallo MatheBoard-Community,

ich bin auf dem Thema der Mathematik leider nicht allzu sehr bewandert und hätte Folgende Frage/Aufgabe:

In meiner Firma sind wir gerade dabei, ein neues System für einen Plakatwechsler zu entwickeln, welcher statt wie bisher mit 3 Plakaten, zwischen 4+ Plakaten hin- und herwechseln soll.

Der Aufbau sieht wie folgt aus:

[attach]43461[/attach]

Bei der Berechnung geht es mir nur um das Prinzip.

Folgende Werte wären hier gegeben:

[attach]43462[/attach]

Die Einstellungen am Wechsler hat für 3 Plakate + Spannfolien bisher reibungslos funktioniert. Für ein 4. Plakat werden die Laufeigenschaften allerdings zu ungenau und wir wollen verhindern, dass sich am Ende des Tages zwei Plakate zur Hälfte auf dem sichtbaren Bereich zeigen.

Fällt jemandem von Euch eine Gleichung zu diesem Problem ein? Wo wären quasi die Nullstellen für die Plakate zu finden, sodass diese bündig mit der Vitrine abschließen?

Vielen Dank schon einmal für jede Anregung und ein gesundes, neues Jahr!

02.01.2017, 12:46

Steffen Bühler

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Wenn ich es richtig verstehe, geht es um ein Wickelproblem, das hier öfter diskutiert wird, zum Beispiel hier: Wickeldurchmesser berechnen

Viele Grüße
Steffen

03.01.2017, 17:46

StudiMauer

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Danke Dir Steffen.

Ich werde einmal sehen mal, was sich machen lässt.

Gruß,

Nico

04.01.2017, 06:59

StudiMauer

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Hallo nochmal und sorry für den Doppelpost,

Leider konnte ich mit dem Wickelungsproblem des anderen TE nichts anfangen. Den Enddurchmesser an der Walze kann ich soweit auch berechnen. Mir ist allerdings unschlüssig, wieviele Wicklungen / Spins die jeweilige Walze (r=26,1mm) durchführen muss, bis eines der Motive randlos und überschneidungsfrei angezeigt werden kann.

Hat da jemand vielleicht einen Ansatz, oder eine passende Formel im Kopf? Es müssen ja beide Walzen in Bewegung sein und die Vorspannfolien mit berücksichtigt werden. Stehe da gerade echt auf dem Schlauch.

04.01.2017, 09:21

Steffen Bühler

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Zunächst mal ist die eine Walze ja leer, ihr Wickelradius r beträgt somit 26,1 Millimeter.

Wenn jetzt etwas mit Dicke d aufgewickelt wird, wird sich der Radius mit jeder Umdrehung U um d erhöhen. Es gilt also $\begin{align*} r(U)=26,1mm+d \cdot U \end{align*}$ . Ok?

Das würde ich zunächst mal für den Vorspann ausrechnen, dann ändert sich ja das d. Den Radius, der bis dahin entstanden ist, kann man als additive Konstante in $\begin{align*} r(U) \end{align*}$ einbinden.

Die Länge der abgewickelten Folie kann man nun mit $\begin{align*} l(U)=2 \cdot \pi \cdot r(U) \cdot U \end{align*}$ bestimmen.

Und das muss nun nach $\begin{align*} U(l) \end{align*}$ umgestellt werden.

04.01.2017, 21:26

Ulrich Ruhnau

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RE: Positionsberechnung Plakatwechsler (Vitrine)
Um dieses Problem zu lösen, muß man die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises benutzen. Die Kreisfläche A ist abhängig vom Radius r des Kreises nach der Formel:

$\begin{eqnarray*} A=\pi r^2 \end{eqnarray*}$

Hat die Rolle ohne die Plakatfolie den Durchmesser $\begin{eqnarray*} r_0 \end{eqnarray*}$ dann ist ihre Querschnittfläche:

$\begin{eqnarray*} A_0=\pi r_0^2 \end{eqnarray*}$

Nehmen wir an, wir wickeln ein Plakat der Länge $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ und der Dicke $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ auf die Rolle, dann wächst dieser Querschnitt natürlich an.

$\begin{eqnarray*} A = ay+\pi r_0^2 \end{eqnarray*}$

Damit steigt dann auch der Radius $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \pi r^2=ay+\pi r_0^2 \end{eqnarray*}$

Der Drehwinkel beim Abrollen $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ den man hier in Radiant angibt, hängt auch mit dem Radius zusammen.

$\begin{eqnarray*} r \Phi = y \end{eqnarray*}$

Weil r aber auch von der abgerollten Plakatstrecke y abhängt, läuft das hier auf ein bisschen Differenzialrechnung hinaus, also:

$\begin{eqnarray*} r d\Phi =d y \end{eqnarray*}$

Die Formel für die Fläche muß auch abgeleitet werden:

$\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} rdr = ady \end{eqnarray*}$

Eingesetzt ergibt das:

$\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} rdr = ard\Phi \end{eqnarray*}$

Teilen durch r:

$\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} dr = ad\Phi \end{eqnarray*}$

Dies noch integrieren:

$\begin{eqnarray*} r = \frac{2a}{\pi}\left(\Phi-\Phi_0\right) \end{eqnarray*}$

Und dann einsetzen in unsere Flächenformel:

$\begin{eqnarray*} \pi \left(\frac{2a}{\pi}\left(\Phi-\Phi_0\right)\right) ^2=ay+\pi r_0^2 \end{eqnarray*}$

Mit anderen Worten wir haben eine Formel, die uns sagt, daß die abgerollte Länge Plakate $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ quadratisch von Drehwinkel $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ abhängt. Also im Prinzip könnten wir auch einfach sagen

$\begin{eqnarray*} y = ax^2 + bx + c \end{eqnarray*}$

so wie wir es in der Schule gelernt haben. Dabei sind x unsere Counts für den Drehwinkel. Der Rest ist also ein Fitproblem, für das man Excel einsetzen kann. Dabei sollte man für y einfach die Plakatnummern 1, 2 oder 3 einsetzen.

04.01.2017, 23:03

Ulrich Ruhnau

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RE: Positionsberechnung Plakatwechsler (Vitrine)
Wenn man jetzt noch weiter machen wollte, müßten noch ein paar Fragen geklärt werden. Verstehe ich das richtig, daß laut Tabelle das erste Plakat von oben nach unten gezogen wird, und die Drehgebercounts in der oberen Rolle generiert werden? Dann wären am Anfang alle drei Plakate auf der oberen Rolle aufgerollt. Anschließend sind alle drei Plakate auf der unteren Rolle und werden wieder nach oben gezogen, wobei diesmal ein Drehgeber in der unteren Rolle arbeitet.

Durch Einfügen von einem vierten Plakat werden die ursprünglichen Drehgebertabellen hinfällig und es sind neue Counts auszurechnen. Dabei ist davon auszugehen, daß die Vorspannfolien ihre ursprüngliche Länge behalten.

Dies währe noch wichtig, sonst kann man nichts rechnen.

05.01.2017, 12:00

StudiMauer

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Hallo,

vielen Dank Euch Beiden für Eure Mühen!

Zu der dringendsten Frage von Ulrich:

Ich hoffe, dass diese Visualisierung ein wenig übersichtlicher ist:

[attach]43496[/attach]

Die Walzen befinden sich jeweils am Ende der Vorspannfolien. Die Werbung, die nicht im Fenster der Vitrine zu sehen ist, ist demnach auf der Walze aufgerollt. Gespannt ist immer nur das sichtbare Plakat. Beide Walzen besitzen einen Motor, welcher die Plakate spannt und gegensteuern kann.

Die Plakate bewegen sich nach folgendem Schema:

Werbung1, Werbung2, Werbung3, Werbung2, Werbung1, ...

Wichtig ist, dass zu keinem Zeitpunkt alle Plakate aufgerollt sind, eines ist immer sichtbar und gespannt.

Wie gesagt, vielen Dank schon einmal für die super Anregungen, damit lässt sich bestimmt schon arbeiten.

Gruß

05.01.2017, 15:47

Ulrich Ruhnau

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Zitat:

StudiMauer: Die Walzen befinden sich jeweils am Ende der Vorspannfolien. Die Werbung, die nicht im Fenster der Vitrine zu sehen ist, ist demnach auf der Walze aufgerollt. Gespannt ist immer nur das sichtbare Plakat. Beide Walzen besitzen einen Motor, welcher die Plakate spannt und gegensteuern kann.

Soweit ist mir das schon klar. Einige Fragen bleibt aber unbeantwortet:
1. Wo sitzen die Drehgeber?
2. Gibt es einen oder zwei?
3. Sind jetzt neue Counts für ein Plakat mehr auszurechnen? Ich tippe mal auf ja.

Bei der Analyse der Counts fällt mir auf, daß beim Wechsel von Plakat 1 auf Plakat 2 nur 9469 Counts anfallen, während beim Wechsel von Plakat 2 auf Plakat 3 bereits 9946 Counts anfallen. Das sind 477 Counts mehr, die anzeigen, daß sich die Walze beim ersten Wechsel weniger drehen muß als beim zweiten Wechsel. Demnach sind beim ersten Wechsel mehr Plakate (größerer Radius) auf der Walze als beim zweiten Wechsel. Also handelt es sich wohl um die untere Walze, wo die Plakate 2 und 3 anfangs aufgerollt sind und bei den erwähnen Wechseln abgerollt werden. Dort sitzt wohl vermutlich auch der Drehgeber, der beim Drehen die Counts erzeugt.

Sobald das Plakat 3 in die Anzeige gebracht wurde, wird die untere Rolle in entgegen gesetzter Richtung in Bewegung gesetzt, um Plakat 3 wieder aufzurollen und um Plakat 2 in die Anzeige zu bringen. Dabei fallen 9396 Counts an. Das sind 737 Counts weniger als die 10133 Counts die benötigt werden um von Plakat 2 auf Plakat 1 zu wechseln. Wenn auch hier der Drehgeber in der untern Rolle verwendet werden sollte, dann ist nicht einzusehen, daß bei anfangs leerer Rolle, die Rolle sich beim ersten Wechsel weniger weit dreht als beim zweiten Wechsel. Dann schätze ich mal haben wir es mit einem anderen Drehgeber zu tun, der wohl in der oberen Rolle sitzt.

Jetzt könnte man sich noch fragen, warum die benötigten Counts von der Drehrichtung abhängig sind. Vielleicht hängt das mit der Dehnbarkeit der Plakatfolie zusammen. Vielleicht spielt die Schwerkraft eine Rolle.

Mir sind noch ein paar tolle Ideen eingefallen, die man mit Excel erledigen könnte. Da kommen wir dann mit Grundrechenarten aus + - . / und ohne komplizierte Quadratische Gleichungen. Aber bevor wir uns darüber unterhalten, sollte man mal klären, wo nun wirklich die Drehgeber sitzen. Ist den kein Techniker bei Euch im Hause?

05.01.2017, 16:46

StudiMauer

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Hallo,

nochmals ein Dankeschön für die schnelle Rückmeldung.
Die Drehgeber sitzen direkt an den Walzen, demnach sind zwei von ihnen verbaut.
Dass die Counts so unterschiedlich ausgefallen sind, liegt möglicherweise daran, dass die Poster unterschiedlich dick sind. Eventuell sollte man diesen Wert für die Berechnung vernachlässigen und für beide Seiten runden? Dass Schwerkraft und Dehnbarkeit des Materials eine Rolle dabei spielen können, hatten wir uns auch überlegt.

06.01.2017, 17:01

Ulrich Ruhnau

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Mich würde außerdem noch interessieren, wieviel Counts genau einer Umdrehung entsprechen. Mit der Dicke der Folien ließe sich auch die Höhe der Plakate berechnen. Wenn man ganz genau sein möchte, wäre auch noch wichtig wie groß der vertikale Abstand der Rollenachsen zum oberen bzw. unteren Rand der Plakate beträgt. Vielleicht könnte ich da noch etwas ausrechnen.

08.01.2017, 23:03

Ulrich Ruhnau

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RE: Positionsberechnung Plakatwechsler (Vitrine)
Schade, daß man seine Formeln nicht im Nachhinein noch verbessern kann. Hier die berichtigte Rechnung:

Um dieses Problem zu lösen, muß man die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises benutzen. Die Kreisfläche A ist abhängig vom Radius r des Kreises nach der Formel:

$\begin{eqnarray*} A=\pi r^2 \end{eqnarray*}$

Hat die Rolle ohne die Plakatfolie den Durchmesser $\begin{eqnarray*} r_0 \end{eqnarray*}$ dann ist ihre Querschnittfläche:

$\begin{eqnarray*} A_0=\pi r_0^2 \end{eqnarray*}$

Nehmen wir an, wir wickeln ein Plakat der Länge $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ und der Dicke $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ auf die Rolle, dann wächst dieser Querschnitt natürlich an.

$\begin{eqnarray*} A = ay+\pi r_0^2 \end{eqnarray*}$

Damit steigt dann auch der Radius $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \pi r^2=ay+\pi r_0^2 \end{eqnarray*}$

Der Drehwinkel beim Abrollen $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ den man hier in Radiant angibt, hängt auch mit dem Radius zusammen.

$\begin{eqnarray*} r \Phi = y \end{eqnarray*}$

Weil r aber auch von der abgerollten Plakatstrecke y abhängt, läuft das hier auf ein bisschen Differenzialrechnung hinaus, also:

$\begin{eqnarray*} r d\Phi =d y \end{eqnarray*}$

Die Formel für die Fläche muß auch abgeleitet werden:

$\begin{eqnarray*} 2\pi rdr = ady \end{eqnarray*}$

Eingesetzt ergibt das:

$\begin{eqnarray*} 2\pi rdr = ard\Phi \end{eqnarray*}$

Teilen durch r:

$\begin{eqnarray*} 2\pi dr = ad\Phi \end{eqnarray*}$

Dies noch integrieren:

$\begin{eqnarray*} r = \frac{a}{2\pi}\Phi + r_0 \end{eqnarray*}$

Und dann einsetzen in unsere Flächenformel:

$\begin{eqnarray*} \pi \left(\frac{a}{2\pi}\Phi+ r_0\right) ^2=ay+\pi r_0^2 \end{eqnarray*}$

Mit anderen Worten wir haben eine Formel, die uns sagt, daß die abgerollte Länge Plakate $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ quadratisch von Drehwinkel $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ abhängt. Also im Prinzip könnten wir auch einfach sagen

$\begin{eqnarray*} y = ax^2 + bx + c \end{eqnarray*}$

so wie wir es in der Schule gelernt haben. Dabei sind x unsere Counts für den Drehwinkel. Der Rest ist also ein Fitproblem, für das man Excel einsetzen kann. Dabei sollte man für y einfach die Plakatnummern 1, 2 oder 3 einsetzen.

09.01.2017, 14:43

sockenschuss

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Zitat:

Die Einstellungen am Wechsler hat für 3 Plakate + Spannfolien bisher reibungslos funktioniert. Für ein 4. Plakat werden die Laufeigenschaften allerdings zu ungenau und wir wollen verhindern, dass sich am Ende des Tages zwei Plakate zur Hälfte auf dem sichtbaren Bereich zeigen.

Kumulierende Gangabweichungen unbekannter oder beliebiger Herkunft wirst du mit Rechnungen alleine nicht in den Griff bekonmmen.
Zu klären ist auf jeden Fall wo die Gangabweichungen herkommen, sonst wirst du im Voraus nie wissen wie du rechnen musst. Aber das ist ja eher ein Technisches Problem.

09.01.2017, 15:14

sockenschuss

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Oder mal anders gefragt: wie habt ihr denn bisher gerechnet?

09.01.2017, 18:23

Ulrich Ruhnau

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Der StudiMaurer ist auch sehr sparsam mit den Informationen aus seiner Firma. Vielleicht hat er Angst für seinen Beitrag hier angemahnt zu werden, vielleicht, weil er das mit seinem Chef nicht abgesprochen hat. Ich jedenfalls habe den Ehrgeiz, hier keine falschen Formeln stehen zu lassen.

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