Reelle Potenzen und die exp-Funktion

02.01.2017, 14:44

Dollmminode

Reelle Potenzen und die exp-Funktion

Hallo Mathematiker,

Folgendes Problem:
Ich habe gezeigt, dass exp(x)=e^x für alle x aus den reelen Zahlen
Ich darf nun annehmen dass exp(q*r)=exp(q)^r für q,r aus Q. Damit soll ich zeigen, dass dies auch für q und r aus |R gilt.

Mein Ansatz:
Ich nehme 2 Folgen, q_k und r_k aus Q mit Grenzwert q und r aus |R. Damit will ich zeigen dass:
exp(q*r)=exp(lim(q_k)*lim(r_k))=exp(lim(q_k*r_k)) ... stetigkeit ... = lim(exp(q_k*r_k))=lim((exp(q_k))^r_k)=exp(q)^r ?

Kann man das so schreiben? Ich bin mir beim letzten Schritt nicht ganz sicher ...

Danke für jede Antwort!

02.01.2017, 23:42

Clearly_wrong

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RE: Reelle Potenzen und die exp-Funktion

Zitat:

Original von Dollmminode
Hallo Mathematiker,

Folgendes Problem:
Ich habe gezeigt, dass $\begin{align*} \exp(x)=e^x \end{align*}$ für alle x aus den reelen Zahlen
Ich darf nun annehmen dass $\begin{align*} \exp(q\cdot r)=\exp(q)^r \end{align*}$ für $\begin{align*} q,r\in\mathbb Q \end{align*}$ . Damit soll ich zeigen, dass dies auch für $\begin{align*} q,r\in\mathbb R \end{align*}$ gilt.

Mein Ansatz:
Ich nehme 2 Folgen, $\begin{align*} q_k \end{align*}$ und $\begin{align*} r_k \end{align*}$ aus $\begin{align*} \mathbb Q \end{align*}$ mit Grenzwert $\begin{align*} q \end{align*}$ und $\begin{align*} r \end{align*}$ aus $\begin{align*} \mathbb R \end{align*}$ . Damit will ich zeigen dass:

$\begin{align*} \exp(q\cdot r)=\exp(\lim(q_k)\cdot \lim(r_k))=\exp(\lim(q_k\cdot r_k)) \overset{\text{Stetigkeit}}{=}\lim(\exp(q_k\cdot r_k))=\lim((\exp(q_k))^{r_k})=\exp(q)^r \end{align*}$ ?

Kann man das so schreiben? Ich bin mir beim letzten Schritt nicht ganz sicher ...

Danke für jede Antwort!

Das Zitat brauchst du nicht beachten, das ist nur für mich.

Um zu zeigen, dass $\begin{align*} \exp(q\cdot r) = \exp(q)^r \end{align*}$ für reelle $\begin{align*} q,r \end{align*}$ gilt, muss man erstmal wissen, wie eure Definition von $\begin{align*} a^b \end{align*}$ für beliebige reelle $\begin{align*} b \end{align*}$ bei $\begin{align*} a>0 \end{align*}$ lautet. Für die Definition, die ich kenne, wäre die Aussage nämlich trivial, du wirst also wahrscheinlich eine andere verwenden.

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