Mehrfachintegrale

02.01.2017, 16:16	Integrale_sind_super	Auf diesen Beitrag antworten »
Mehrfachintegrale Meine Frage: Hallo zusammen! Ich habe eine Frage zu Mehrfachintegralen. In einem Buch habe ich gelesen: Verwendet man als Integrand die Funktion, die auf dem Integrationsvolumen konstant gleich 1 ist, so erhält man folgende Formel: $\begin{eqnarray} V= \int\int\int_V \! \, dV \end{eqnarray}$ Gleiches trifft auch auf ein Flächenintegral zu. Ich glaube, ich stehe gerade auf dem Schlauch - ich würde dies aber gerne verstehen und nicht auswendig lernen. Meine Ideen: Ich habe mir zu der Formel Folgendes gedacht: $\begin{eqnarray} \int_z\int_y\int_x \! 1 \, dxdydz=x \cdot y \cdot z =V \end{eqnarray}$ Ergibt das so Sinn? Ich freue mich über Antworten, danke Leute!! Lieben Gruß
02.01.2017, 16:54	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin noch kein Profi, wie andere hier - möchte aber mal versuchen das etwas zu erläutern. Dein Zitat "Verwendet man als Integrand die Funktion, die auf dem Integrationsvolumen konstant gleich 1 ist, so erhält man folgende Formel" findet man oftmals wenn man die aus der Schule bekannte, 1 dimensionale Integration auf mehrere Dimensionen verallgemeinert. Ein relativ grosses Thema. Daher empfehle ich mal, ein Kapitel "Integration im $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ in irgendeinem Buch nachzulesen. Der Grund wieso du hier die Einsfunktion nimmst, ist, weil sozusagen alle Information des Volumens bereichs in $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ steckt. Beispiel: Quadrat: $\begin{eqnarray} V:=\{ (x,y,z)\in\mathbb R^3 \| 0\leq x \leq 1,0\leq y \leq 1,0\leq z \leq 1,\} \end{eqnarray}$ wäre das Volumen vom Quader. Somit: $\begin{eqnarray} \int_0^1\int_0^1\int_0^1 1\cdot dxdydz = 1 \end{eqnarray}$ Wichtig ist, dass $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ als $\begin{eqnarray} Normalbereich \end{eqnarray}$ geschrieben wurde. Eine Menge $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ist normalbereich, wenn er die Form $\begin{eqnarray} G=\lbrace (x,y)\in {\mathbb {R}}^{2}\;\|\;a<x<b,\;g(x)<y<h(x)\rbrace \end{eqnarray}$ hat. (In 2 dim, als Beispiel) Das ist daher von nöten, da du ja erst über die eine, dann über die andere Variable integrierst. Es gilt: $\begin{eqnarray} \int_a^b\int_{g(x)}^{h(x)}dydx \end{eqnarray}$ [Beachte: Fubini wurde hier benutzt] Du möchtest also das Volumen, über das du integrierst, als Normalenbereich darstellen - da du dann eine Abhängigkeit der Integratiosngrenzen hast, die dir keine Probleme bereiten. Eine Menge, die kein Normalenbereich ist, aber als solcher darstellbar ist, wäre z.B. $\begin{eqnarray} \Omega = \{ (x,y,)\in\mathbb R^2 \| \|x\|\leq\|y\|\leq 1\} \end{eqnarray}$ Als Normalenbereich: $\begin{eqnarray} \Omega = \{ (x,y,)\in\mathbb R^2 \| -1\leq y \leq 1, -\|y\|\leq x \leq \|y\|\} \end{eqnarray}$ Hier sieht man gut, wie man das integrieren könnte. Wenn du nun aber nicht über die Einsfunktion integrieren würdest, sondern über eine Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ , dann würdest du das Volumen kriegen, welches diese Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ sozusagen aus dem Würfel "herausschneidet". Ich stellte mir das immer etwa so vor: Wenn du die Strecke von 1 bis 4 möchtest [was ja 3 ist], so machst du: $\begin{eqnarray} \int_1^4 dx = [x]_1^4 = 4-1 = 3 \end{eqnarray}$ ["Alle information" steckt sozusagen in den Grenzen] Integriere ich nun aber über $\begin{eqnarray} f(x)=x^2 \end{eqnarray}$ anstatt der Einsfunktion, so kriegt man das bekannte $\begin{eqnarray} \int_1^4 x^2 dx \end{eqnarray}$ Ich hoffe das half etwas.

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