Normalverteilung und Quantile

02.01.2017, 17:05

DieLeuchte

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Normalverteilung und Quantile

Meine Frage:
Moin,

Von einer normalverteilten Zufallsvariable X ist bekannt, dass das 10%-Quantil -2 beträgt
und dass die Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert größer als 5 annimmt, 20% beträgt.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit nimmt X einen negativen Wert an?

Meine Ideen:
Weiss hier leider absolut nicht wie ich vorgehen soll.
Bin für Tipps dankbar.

Gruß
DieLeuchte

02.01.2017, 17:10

DieLeuchte

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Mir ist schon klar, dass die WSK dafür zwischen 10 und 20% liegt, aber wie berechne ich die Grenze exakt?

02.01.2017, 17:16

Steffen Bühler

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Mit dieser Tabelle solltest Du weiterkommen. Wenn da was unklar ist, melde Dich einfach.

Viele Grüße
Steffen

02.01.2017, 17:29

DieLeuchte

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Ich kenne die Tabelle der Standartnormalverteilung, aber in wieweit hilft mir das hier weiter?

02.01.2017, 17:40

Steffen Bühler

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Ach, die Tabelle kennst Du schon? Um so besser.

Du holst Dir daraus nun die beiden $\begin{align*} z \end{align*}$ -Werte für die gegebenen $\begin{align*} \Phi \end{align*}$ -Werte. Dann hast Du zwei Gleichungen, mit denen Du die Unbekannten $\begin{align*} \mu \end{align*}$ und $\begin{align*} \sigma \end{align*}$ bestimmen kannst. Und mit diesen wiederum bekommst Du raus, welcher Anteil der Glockenkurve im Negativen liegt.

Dann mal los: welche $\begin{align*} z \end{align*}$ -Werte bekommst Du?

02.01.2017, 17:46

DieLeuchte

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danke schonmal, muss kurz ne halbe stunde weg - werde mich dann dransetzen

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02.01.2017, 18:55

DieLeuchte

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So? und wie gehts dann weiter?

Sigma ist hier Gamma und Mü ist alpha

$\begin{eqnarray*} F_{z} \left(\frac{-2-\alpha }{\gamma } \right) = 0,1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F_{z} \left(\frac{5-\alpha }{\gamma } \right) = 0,2 \end{eqnarray*}$

--> $\begin{eqnarray*} \alpha = -9 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \gamma =70 \end{eqnarray*}$

02.01.2017, 19:11

HAL 9000

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Zitat:

Original von DieLeuchte
$\begin{eqnarray*} \alpha = -9 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \gamma =70 \end{eqnarray*}$

Nein, das wäre die Lösung von

$\begin{eqnarray*} \frac{-2-\alpha }{\gamma } = 0,1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{5-\alpha }{\gamma } = 0,2 \end{eqnarray*}$ .

Das Gleichungssystem lautet aber doch

$\begin{eqnarray*} F_{z} \left(\frac{-2-\alpha }{\gamma } \right) = 0,1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F_{z} \left(\frac{5-\alpha }{\gamma } \right) = 0,2 \end{eqnarray*}$ .

D.h., du musst zunächst $\begin{eqnarray*} F_z^{-1} \end{eqnarray*}$ auf die rechten Seiten anwenden, und wie das geht, hat dir oben schon Steffen erzählt:

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Ach, die Tabelle kennst Du schon? Um so besser.

Du holst Dir daraus nun die beiden $\begin{align*} z \end{align*}$ -Werte für die gegebenen $\begin{align*} \Phi \end{align*}$ -Werte.

EDIT: Und es ist noch ein Fehler drin, und zwar bereits bei der Aufstellung des Systems:

Zitat:

Original von DieLeuchte
und dass die Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert größer als 5 annimmt, 20% beträgt.

Übersetzt bedeutet das die Gleichung

$\begin{eqnarray*} F_{z} \left(\frac{5-\alpha }{\gamma } \right) = {\color{red}0,8} \end{eqnarray*}$ .

02.01.2017, 19:12

DieLeuchte

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oder müssen die Gleichungen folgendermaßen aussehen

$\begin{eqnarray*} F_{z}\left(\frac{-2-\alpha }{\gamma b} \right)=0,53983 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F_{z}\left(\frac{5-\alpha }{\gamma b} \right)=0,57926 \end{eqnarray*}$

--> $\begin{eqnarray*} \alpha = -97,8359117423 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \gamma = 177,5297996449 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F_{z}(0,53983) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F_{z}(0,57926) \end{eqnarray*}$

02.01.2017, 19:16

DieLeuchte

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} F_{z}\left(\frac{-2-\alpha }{\gamma b} \right)=0,53983 \end{eqnarray*}$

das b gehört natürlich raus es muss $\begin{eqnarray*} F_{z}\left(\frac{-2-\alpha }{\gamma } \right)=0,53983 \end{eqnarray*}$ heissen

Jetzt bin ich aber total verwirrt und kenn mich gerade garnicht mehr aus

verwirrt

02.01.2017, 19:24

DieLeuchte

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Ich möchte mich nochmals für die Hilfe bedanken, aber ich habe nicht vor noch mehr Zeit mit dieser Aufgabe zu verplempern. Die alten Klausuren waren immer ziemlich nach dem gleichen Schema aufgebaut und eine derartige Aufgabe war noch nie dran. Ich denke es macht mehr Sinn wenn ich mich den anderen Aufgabenstellungen widme.

Wink

Wink

Wink

02.01.2017, 19:27

HAL 9000

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Zitat:

Original von DieLeuchte
Jetzt bin ich aber total verwirrt und kenn mich gerade garnicht mehr aus

verwirrt

Das sehe ich - du nimmst ja fast keine der Empfehlungen wahr. unglücklich

unglücklich

Das System lautet NICHT

$\begin{eqnarray*} \frac{-2-\alpha }{\gamma } = F_z(0{,}1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{5-\alpha }{\gamma } = F_z(0{,}2) \end{eqnarray*}$ ,

sondern

$\begin{eqnarray*} \frac{-2-\alpha }{\gamma } = F_z^{-1}(0{,}1) = -F_z^{-1}(0{,}9) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{5-\alpha }{\gamma } = F_z^{-1}(0{,}8) \end{eqnarray*}$ .

D.h., du suchst nicht die Funktionswerte für die Argumente 0,1 und 0,2 heraus, sondern du musst die zugehörigen Argumente für die Funktionswerte 0,1 und 0,8 bestimmen! Da das bei 0,1 nicht klappt, weil die Funktion nur für positive Argumente tabelliert ist (mit Funktionswerten >0,5) , musst du noch die Symmetrie $\begin{align*} F_z^{-1}(t) = -F_z^{-1}(1-t) \end{align*}$ nutzen, hier speziell für $\begin{align*} t=0{,1} \end{align*}$ bedeutet das $\begin{align*} F_z^{-1}(0{,}1) = -F_z^{-1}(0{,}9) \end{align*}$

02.01.2017, 19:49

DieLeuchte

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Zitat:

[
Das sehe ich - du nimmst ja fast keine der Empfehlungen wahr. unglücklich

unglücklich

Das lag daran, dass ich kein Mathematiker bin und ich nicht verstehe was ihr mir damit sagen wollt

02.01.2017, 19:57

HAL 9000

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Zitat:

Original von DieLeuchte
Das lag daran, dass ich kein Mathematiker bin und ich nicht verstehe was ihr mir damit sagen wollt

Diese Ausrede ist mir zu billig. Na vielleicht findet Steffen einen besseren Zugang, wenn er wieder zurückkommt.

02.01.2017, 20:11

DieLeuchte

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Zitat:

Diese Ausrede ist mir zu billig. Na vielleicht findet Steffen einen besseren Zugang, wenn er wieder zurückkommt.

Ich studiere im Master Logistik und diese Statistik Klausur ist reine Schickane auf den Weg dorthin - für mich gehts nur darum irgendwie durch die Prüfung zu kommen und gut is. Naja jetzt muss ich mich sowieso langsam für die Arbeit fertig machen. Danke nochmals

02.01.2017, 20:21

Steffen Bühler

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Wie lauten denn nun die z-Werte? Lass uns nicht dumm sterben. Und der Thread will ja auch beendet werden, spätere Leser danken es Dir.

03.01.2017, 01:37

DieLeuchte

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Zitat:

Original von Steffen Bühler
Wie lauten denn nun die z-Werte? Lass uns nicht dumm sterben.

Ich hab k.A. und weiss auch nicht was ich genau machen soll und selbst wenn ich die richtigen mü und sigma Werte habe wie mir dass weiterhelfen soll.Meine letzte Mathevorlesung war im 2 oder 3 Semester Bachelor, nun bin ich kurz vor der Masterarbeit - ich hab das Meiste schon lang wieder vergessen und deswegen helfen mir eure Tipps auch nicht wirklich weiter.

03.01.2017, 09:18

Steffen Bühler

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Keine Panik.

Du sollst halt, wie geschrieben erst mal die zwei z-Werte aus der Tabelle holen. Und zwar, wie HAL schon schrieb, die hier:

$\begin{align*} \frac{-2-\alpha }{\gamma } = F_z^{-1}(0{,}1) = -F_z^{-1}(0{,}9) \end{align*}$
$\begin{align*} \frac{5-\alpha }{\gamma } = F_z^{-1}(0{,}8) \end{align*}$ .

Für Logistiker: Augenzwinkern

Augenzwinkern

Schau in den Tabellenwerten, wo die 0,8 und die 0,9 ungefähr stehen. Dann geh von dort nach links, da steht eine Zahl. Und nach oben eine andere. Die addierst Du. Das ist der gesuchte z-Wert. Bei der 0,9 noch negativ machen.

Und dann setzt Du $\begin{align*} \frac{-2-\alpha }{\gamma } \end{align*}$ bzw. $\begin{align*} \frac{5-\alpha }{\gamma } \end{align*}$ damit gleich. Zwei Gleichungen, zwei Unbekannte.

03.01.2017, 09:20

HAL 9000

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Zitat:

Original von DieLeuchte
Ich hab k.A. und weiss auch nicht was ich genau machen soll und selbst wenn ich die richtigen mü und sigma Werte habe wie mir dass weiterhelfen soll.

Das ist jetzt schon ziemlich enttäuschend - ich war davon ausgegangen, dass zumindest dieser Punkt klar war.

Fassen wir doch mal das bisherige zusammen bzw. wenn man so will, ein kompletter Neustart:

$\begin{align*} X \end{align*}$ ist eine $\begin{align*} \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) \end{align*}$ -verteilte Zufallsgröße mit zunächst unbekannten Parametern $\begin{align*} \mu \end{align*}$ und $\begin{align*} \sigma \end{align*}$ . Mit der Verteilungsfunktion $\begin{align*} F_X(t)=P(X\leq t) \end{align*}$ kann man die gegebenen Voraussetzungen schreiben als $\begin{align*} F_X(-2)=0.1 \end{align*}$ sowie $\begin{align*} P(X>5)=1-P(X\leq 5) = 1-F_X(5)=0.2 \end{align*}$ , letzteres umgestellt zu $\begin{align*} F_X(5)=0.8 \end{align*}$ . Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für negative Werte von $\begin{align*} X \end{align*}$ , d.h. $\begin{align*} P(X<0)=F_X(0) \end{align*}$ .

Zwischen der Verteilungsfunktion $\begin{align*} F_X \end{align*}$ von $\begin{align*} \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) \end{align*}$ und der Standardnormalverteilungsfunktion $\begin{align*} \Phi \end{align*}$ besteht der Zusammenhang $\begin{align*} F_X(t)=\Phi\left( \frac{t-\mu}{\sigma} \right) \end{align*}$ , daher sieht die Situation so aus:

Gegeben sind

$\begin{align*} \Phi\left( \frac{-2-\mu}{\sigma} \right) = 0.1\qquad (1) \end{align*}$

$\begin{align*} \Phi\left( \frac{5-\mu}{\sigma} \right) = 0.8\qquad (2) \end{align*}$

was zur Bestimmung von $\begin{align*} \mu,\sigma \end{align*}$ genutzt werden kann. Und das wiederum nutzt man dann, um das gesuchte

$\begin{align*} F_X(0) = \Phi\left( \frac{-\mu}{\sigma} \right)\qquad (3) \end{align*}$

zu bestimmen. Jetzt ist hoffentlich klar, wieso man $\begin{align*} \mu,\sigma \end{align*}$ benötigt.

---------------------------------------------------

Wir waren oben bei

$\begin{align*} \frac{-2-\mu}{\sigma} = {\color{red}\Phi^{-1}(0.1)}\qquad (4) \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{5-\mu}{\sigma} = {\color{red}\Phi^{-1}(0.8)}\qquad (5) \end{align*}$

stehengeblieben, und da steht rechts die Frage nach der Bestimmung von $\begin{align*} z=\Phi^{-1}(p) \end{align*}$ für gegebene $\begin{align*} p\in (0,1) \end{align*}$ mit Hilfe der Tabelle. Das heißt, hier ist der Funktionswert gegeben und das Argument gesucht! Wenn du dir die $\begin{align*} \Phi \end{align*}$ -Tabelle mal anschaust wirst du feststellen, dass dort nur für positive Argumente tabelliert ist und entsprechend nur Werte $\begin{align*} p\in \left[0.5,1\right) \end{align*}$ als Funktionswerte auftauchen. Das reicht, um zumindest erstmal den zweiten z-Wert $\begin{align*} \Phi^{-1}(0.8)\approx 0.84 \end{align*}$ abzulesen.

Der andere gegebene Funktionswert 0.1 ist kleiner als 0.5, hier greift die Symmetrie $\begin{align*} \Phi^{-1}(p) = -\Phi^{-1}(1-p) \end{align*}$ , wir benötigen hier $\begin{align*} \Phi^{-1}(0.1) = -\Phi^{-1}(0.9) \end{align*}$ , den Wert $\begin{align*} \Phi^{-1}(0.9) \end{align*}$ schaust du mal bitte selbst nach.

Nun ist alles beisammen, um Gleichungssystem (4)(5) zu lösen, und mit den so ermittelten $\begin{align*} \mu,\sigma \end{align*}$ kannst du dann (3) berechnen, das dann wieder per "normaler" Tabellennutzung.

EDIT: Oh Shit, hatte gerade noch nachgeschaut, ob über Nacht was passiert ist, und dann das... unglücklich

unglücklich

03.01.2017, 09:25

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von HAL 9000
Oh Shit

Nicht traurig sein. Und danke für die ausführlichere Darstellung.

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