Cauchysche Integralformel

02.01.2017, 20:12

rrrrrrrrrrrrrrrr

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Cauchysche Integralformel

Meine Frage:
Hallo,

ich bin Physiker im 3. Semester und mache mir nun schon die ganzen Ferien Gedanken über diese eine Aufgabe zum Cauyschen Integralsatz, die mir auf den ersten Blick recht einfach erschien... und nun habe ich gedacht ich frage mal hier nach Augenzwinkern

Augenzwinkern

Bestimme folgendes Integral:
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2pi} \! (1/((a*cos(t))^2+(b*sin(t)^2)) \, dt \end{eqnarray*}$ mit a,b> 0

Meine Ideen:
Mein Gedanke auf den ersten Blick: laut Cauyschem Integralsatz müsste das Integral doch eigentlich wegfallen???
Dann müsste ich zeigen, dass der Nenner nie 0 wird.
Falls es doch eine Singularität gäbe, hätte ich eine Partialbruchzerlegung versucht, in der man die Nullstellen klarer sieht. Nach Anwendung binomischer Formeln komme ich hier aber nicht auf die Nullstellen....
So spontan würde mir jetzt noch einfallen die Definitionen von sin, cos einzusetzen, das wars dann aber auch Big Laugh

Big Laugh

Ich hoffe ich bin nicht ein zu hoffnungsloser Fall ^^

02.01.2017, 20:54

005

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RE: Cauchysche Integralformel
Was dieses Integral mit der Cauchyschen Integralformel zu tun haben soll, muesste erstmal geklaert werden, oder? In der Cauchyschen Integralformel kommt naemlich ein komplexes Kurvenintegral vor, waehrend Deines da ein ganz popeliges reelles Integral in 1d ist. (Ist es ueberhaupt richtig hingeschrieben? In Latex geht das ja wohl uebersichtlicher.)

02.01.2017, 21:10

YoungsterPhysician

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So mittlerweile bin ich im Forum angemeldet(nachdem ich 10 belegte nicks probiert habe)

Der Rand des Einheitsballs läuft doch von 0 bis 2pi oder irre ich mich.
Entschuldige meine Latex- Unerfahrenheit ich schreibe es gleich nochmal besser auf smile

smile

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2\pi } \! \frac{1}{(a \cdot cos(t))^2+ (b \cdot sin(t))^2 )} \, dt \end{eqnarray*}$

02.01.2017, 21:28

005

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Schau: Du kannst Dir vorstellen, dass da mal ein komplexes Kurvenintegral ueber den Rand der Einheitskreisscheibe stand. Dann wurde die Parametrisierung $\begin{eqnarray*} z=e^{it} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} t\in[0,2\pi] \end{eqnarray*}$ eingetragen und es kam das raus, was Du jetzt vorliegen hast.

Deine erste Aufgabe ist es, diese Parametrisierung rueckgaengig zu machen und das komplexe Ausgangsintegral zu rekonstruieren. Erst dann kannst Du die Cauchysche Integralformel anwenden.

03.01.2017, 12:26

YoungsterPhysician

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Danke für deine Antwort

Also muss ich versuchen diese Parametrisierung rückgängig zu machen.

Wenn ich dafür jetzt den komplexen Logarithmus verwende, ist das ganze ja nicht ganz so einfach wie im Reellen. Kann ich dennoch den Hauptzweig des Logaritmus verwenden, um das ganze umzustellen also:
$\begin{eqnarray*} z= e^{it} \Rightarrow it= ln| z | + i arg(z) \Rightarrow t= \frac{ln| z |}{i} + arg(z) \end{eqnarray*}$

03.01.2017, 13:16

Leopold

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Ohne Verrenkungen wirst du wohl mit dem Einheitskreis nicht so einfach hinkommen. Berechne $\begin{align*} \int_{\varepsilon} \frac{\dd z}{z} \end{align*}$ für die Ellipse

$\begin{align*} \varepsilon: \ \ z = a \cos t + \operatorname{i} b \sin t \, , \ \ t \in [0,2\pi] \end{align*}$

Verwende einerseits die Cauchysche Integralformel, andererseits die obige Parametrisierung und gehe zum Imaginärteil über.

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03.01.2017, 14:33

YoungsterPhysician

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Was meinst du mit gehe zum Imaginärteil über?
bei mir kommt für das Integral:

$\begin{eqnarray*} \int_{\in } \! \frac{1}{z} \, dz = 2\pi i\cdot 1 \end{eqnarray*}$
da 0 innerhalb der Ellipse liegen muss und somit nach Cauyschem Integralsatz 1 (0) immer noch 1 ist

03.01.2017, 14:38

Leopold

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Zitat:

Original von Leopold
Verwende einerseits die Cauchysche Integralformel, andererseits die obige Parametrisierung und gehe zum Imaginärteil über.

$\begin{align*} z = 3{,}1 + \operatorname{i} 2017 \end{align*}$

Übergang zum Imaginärteil:

$\begin{align*} \operatorname{Im}(z) = 2017 \end{align*}$

03.01.2017, 14:45

YoungsterPhysician

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Ich weiß, was der Imaginärteil ist, nur nicht was der mir in diesem Fall bringen soll.
Verzeih mir meine Unwissenheit ^^

Nachtrag zur Ellipse:

Ich kann natürlich nicht einfach für die Ellipse den CI für Kreisscheiben verwenden, was aber nicht schlimm ist, da ich mir einfach einen geschlossenen Weg konstruiere, der die Ellipse durchläuft und dann einfach "rückwärts" den Einheitskreisrand. Dann müsste dieses Integral 0 (umschließt z=0 null mal) sein woraus folgt, dass das Ellipsenintregral glücklicherweise auch $\begin{eqnarray*} 2\pi i \end{eqnarray*}$ ist.

03.01.2017, 14:59

Leopold

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Du hast den ersten Teil der Aufgabe erledigt. Jetzt gehe zum zweiten Teil über. Den habe ich im vorigen Beitrag rot markiert.

03.01.2017, 15:14

YoungsterPhysician

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Zunächst muss ich ja mein Integral geeignet umformen:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2\pi } \! \frac{1}{a^2\cdot cos(t)^2+b^2\cdot sin(t)^2} \, dt = \int_{0}^{2\pi } \! \frac{1}{(a\cdot cos(t)-ibsin(t))\cdot (acos(t)+ibsin(t))} \, dt \end{eqnarray*}$

Jetzt setze ich deine Parametrisierung ein, dann wird das zu:

$\begin{eqnarray*} \int_{\in } \! \frac{1}{z\cdot \overline{z} } \, dz \end{eqnarray*}$

Hier kommen meine nächsten Probleme...
Habe vor der Parametrisierung versucht eine Partialbruchzerlegung durchzuführen, da komme ich mit sin() und cos() nicht weiter.
Wenn ich das geschafft hätte, könnte ich schonmal mein $\begin{eqnarray*} \int_{\in } \! \frac{1}{z} \, dz = 2\pi i \end{eqnarray*}$ einsetzen

03.01.2017, 15:23

Leopold

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Umgekehrt:

$\begin{align*} 2 \pi \operatorname{i} = \int_{\varepsilon} \frac{\dd z}{z} \ = \ \int_0^{2 \pi} \frac{-a \sin t + \operatorname{i} b \cos t}{a \cos t + \operatorname{i} b \sin t} ~ \dd t \end{align*}$

Jetzt weiter umformen. Der erste Schritt ist es, den Nenner reell zu machen. Übliche Methode.
Danach genügt es, den Imaginärteil zu betrachten. Das zeigt ja schon die linke Seite der Gleichung.

03.01.2017, 15:35

YoungsterPhysician

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Achso, und zu allem Überfluss habe ich oben auch noch vergessen die Differnziale richtig zu substituieren, peinlich verwirrt

verwirrt

Also erweitere ich mit (acos(t)-ibsin(t)) und komme auf:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2\pi } \! \frac{-a^2sin(t)cos(t)+iabsin(t)cos(t)+iabcos(t)^2+b^2sin(t)^2}{a^2\cdot cos(t)^2+b^2\cdot sin(t)^2} \, dt \end{eqnarray*}$

Bist du da bei mir ?

Edit: Quadrat des letzten sinus vergessen

03.01.2017, 15:38

Leopold

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Zitat:

Original von Leopold
$\begin{align*} 2 \pi \operatorname{i} = \int_{\varepsilon} \frac{\dd z}{z} \ = \ \int_0^{2 \pi} \frac{-a \sin t + \operatorname{i} b \cos t}{a \cos t + \operatorname{i} b \sin t} ~ \dd t \end{align*}$

Du mußt mit dem konjugiert Komplexen des Nenners erweitern. Dann ergibt sich jedoch ein anderer Zähler als bei dir.

03.01.2017, 15:40

YoungsterPhysician

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Habe ich ja getan, dann komme ich auf den Nenner aus der Aufgabe... aber ich habe mich oben auch nicht verrechnet oder ?

03.01.2017, 15:45

Leopold

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Zitat:

Original von Leopold
Dann ergibt sich jedoch ein anderer Zähler als bei dir.

Da beim Ausmultiplizieren immer ein Sinus/Cosinus auf einen Sinus/Cosinus trifft, können nur Quadrate dieser Funktionen oder die Kombination Sinus mal Cosinus entstehen. Ein einfacher Sinus wie in deinem Zähler ist denkunmöglich.

Einfach den Zähler noch einmal vollständig neu berechnen.

03.01.2017, 15:47

YoungsterPhysician

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Oh.. ist korrigiert, habe das Quadrat vergessen mein Fehler

Jetzt alles in Ordnung?

dann ziehe ich im nächsten Schritt den Imaginärteil

03.01.2017, 15:50

Leopold

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Der ganze Zähler stimmt nicht! Bitte neu berechnen und neu hinschreiben. Ich bin nicht bereit, über nichtdokumentierte Rechnungen zu reden.

03.01.2017, 16:11

YoungsterPhysician

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Also dann nochmal von vorne:

Zitat:

Original von Leopold
Umgekehrt:

$\begin{align*} 2 \pi \operatorname{i} = \int_{\varepsilon} \frac{\dd z}{z} \ = \ \int_0^{2 \pi} \frac{-a \sin t + \operatorname{i} b \cos t}{a \cos t + \operatorname{i} b \sin t} ~ \dd t \end{align*}$

Jetzt weiter umformen. Der erste Schritt ist es, den Nenner reell zu machen. Übliche Methode.
Danach genügt es, den Imaginärteil zu betrachten. Das zeigt ja schon die linke Seite der Gleichung.

Dies ist mein Startpunkt:

1. Erweiterung mit dem Komplex konjugierten des Nenners:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2\pi } \! \frac{(-asin(t)+ibcos(t))\cdot (acos(t)-ibsin(t)}{(acos(t)+ibsin(t))(acos(t)-ibsin(t)} \, dt = \int_{0}^{2\pi } \! \frac{(-asin(t)+ibcos(t))\cdot (acos(t)-ibsin(t)}{a^2cos(t)^2+b^2sin(t)^2} \, dt \end{eqnarray*}$

2. Ausmultiplizeren des Zählers

Hier steht nur für den Zähler:
$\begin{eqnarray*} (-asin(t))+ibcos(t)) \cdot (acos(t)-ibsin(t))= -a^2sin(t)cos(t)+iabsin(t)^2+iabcos(t)^2+b^2sin(t)cos(t) \end{eqnarray*}$

3.Einsetzen in den Bruch bringt mir dann:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2\pi } \! \frac{ -a^2sin(t)cos(t)+iabsin(t)^2+iabcos(t)^2+b^2sin(t)cos(t)}{a^2cos(t)^2+b^2sin(t)^2} \, dt \end{eqnarray*}$

So, jetzt ist hoffentlich alles richtig?
Dann noch Imaginärteil ziehen...

Und dann müsste rauskommen:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2\pi } \! \frac{1}{a^2cos(t)^2+b^2sin(t)^2} \, dt= \frac{2\pi }{ab} \end{eqnarray*}$

03.01.2017, 16:14

Leopold

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Jetzt stimmt es.
Nun noch den trigonometrischen Pythagoras beachten. Und zum Imaginärteil übergehen.

EDIT
Letzten Satz streichen.

03.01.2017, 16:43

YoungsterPhysician

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Super vielen Dank für deine Hilfe smile

smile

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