Isomorphismus

02.01.2017, 21:23

Statista

Isomorphismus

Meine Frage:
Man gebe den naheligenden Isomorphismus zwischen $\begin{eqnarray*} (K^{n \times r}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (K^n)^r \end{eqnarray*}$ explizit an.

Meine Ideen:
1. $\begin{eqnarray*} (K^{n \times r}) \end{eqnarray*}$ ist eine Matrix mit n Zeilen und r Spalten.

2. $\begin{eqnarray*} (K^n)^r \end{eqnarray*}$ ist ein Vektor mit r Komponenten und jede Komponente ist ein Vektor mit n Komponenten.

3. Also ordnen wir einfach jedem $\begin{eqnarray*} \alpha_{ij} \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} (K^{n \times r}) \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} b_{i} \end{eqnarray*}$ aus dem jeweiligen $\begin{eqnarray*} a_{j} \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} (K^n)^r \end{eqnarray*}$ zu.

03.01.2017, 12:01

Elvis

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Ganz so einfach ist das nun wieder nicht. Ein expliziter Isomorphismus muss jeder Matrix explizit etwas zuordnen. Und man muss auch beweisen, dass ein expliziter Isomorphismus ein Isomorphismus ist.

03.01.2017, 14:24

Statista

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Zitat:

Ganz so einfach ist das nun wieder nicht. Ein expliziter Isomorphismus muss jeder Matrix explizit etwas zuordnen.

D.h. ich muss jede möglich Matrix aufschrieben z.B. so:

$\begin{eqnarray*} (K^{1 \times 1}) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (K^{1 \times 2}) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (K^{2 \times 1}) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (K^{2 \times 2}) \end{eqnarray*}$ , ... , $\begin{eqnarray*} (K^{n \times r}) \end{eqnarray*}$

und dann eine Funktion festlegen, die sie in eine solche Form verwandelt:

$\begin{eqnarray*} (K^1)^1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (K^1)^2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (K^2)^1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (K^2)^2 \end{eqnarray*}$ , ... , $\begin{eqnarray*} (K^n)^r \end{eqnarray*}$

Aber was kann ich machen außer bei den Matrizen die Spalten zu einzelnen Vektoren zu machen, die jeweils n Zeilen haben?

03.01.2017, 18:10

Elvis

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$\begin{eqnarray*} M\in K^{n\times r}\Rightarrow M=\begin{pmatrix} a_{11} & ... & a_{1r} \\ ... & ... & ... \\ a_{n1} & ... & a_{nr} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dieser Matrix musst Du ein eindeutig bestimmtes Element aus $\begin{eqnarray*} (K^n)^r \end{eqnarray*}$ zuordnen, nicht nur in Worten, sondern formal.

03.01.2017, 19:59

Statista

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Vielleicht so geschrieben:

$\begin{eqnarray*} \vec{A}= (\left( \begin{array}{c} a_1 \\ ... \\ a_n \end{array} \right) ,... , \left( \begin{array}{c} r_1 \\ ... \\ r_n \end{array} \right) ) \end{eqnarray*}$

04.01.2017, 08:20

Elvis

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Das ist offenbar falsch. Es stimmt nicht mit deinen Worten überein. Außerdem musst Du eine Abbildung angeben und nicht nur ein Bild einer Matrix. Du brauchst die Abbildung, wenn Du beweisen willst, dass sie ein Isomorphismus ist. Falls Du es nicht wissen solltest, eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen schreibt man so: $\begin{eqnarray*} f:V\to W, v\mapsto w=f(v) \end{eqnarray*}$

04.01.2017, 12:44

Statista

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Ich hatte es auch eher als Element aus $\begin{eqnarray*} (K^n)^r \end{eqnarray*}$ betrachtet.

Also quasi:
$\begin{eqnarray*} f: V\to W, v\mapsto w=f(v) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f: K^{n \times r}\to (K^n)^r, v=\begin{pmatrix} a_{11} & ... & a_{1r} \\ ... & ... & ... \\ a_{n1} & ... & a_{nr} \end{pmatrix}\mapsto \vec{x} = ( \left( \begin{array}{c} a_1 \\ ... \\ a_n \end{array} \right) \; ... \; \left( \begin{array}{c} r_1 \\ ... \\ r_n \end{array} \right)) = w =f(v) \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} v\in K^{n\times r}, w\in (K^n)^r \end{eqnarray*}$

Damit hätte ich doch jeder Matrix die n Zeilen und r Spalten hat, einen Vektor zugeordnet, der r Komponenten hat und jede Komponente ist ein Vektor mit n Komponenten.

04.01.2017, 12:46

Elvis

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Das x ist immer noch VÖLLIG FALSCH, und es gibt auch keinen Grund, das w x oder das x w zu nennen.

04.01.2017, 13:15

Statista

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Was daran ist denn falsch? Meine Benennung? Mein Verständnis darüber was $\begin{eqnarray*} (K^n)^r \end{eqnarray*}$ ist, also ein Vektor mit r Komponenten, von denen jeder ein Vektor mit n Komponenten ist?

04.01.2017, 14:33

Elvis

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Die Komponenten der Vektoren stehen nicht als Elemente in der Matrix. Wo kommen sie denn dann her ?

04.01.2017, 17:28

Statista

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Also müsste es so heißen:

$\begin{eqnarray*} f: V\to W, v\mapsto w=f(v) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f: K^{n \times r}\to (K^n)^r, v=\begin{pmatrix} a_{11} & ... & a_{1r} \\ ... & ... & ... \\ a_{n1} & ... & a_{nr} \end{pmatrix}\mapsto ( \left( \begin{array}{c} a_{11} \\ ... \\ a_{n1} \end{array} \right) \; ... \; \left( \begin{array}{c} a_{1r} \\ ... \\ a_{nr} \end{array} \right)) = w =f(v) \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} v\in K^{n\times r}, w\in (K^n)^r \end{eqnarray*}$

04.01.2017, 18:01

Elvis

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Ja, fast so. Die erste Zeile kannst Du weglassen und statt $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ besser, weil das Urbild eine Matrix ist. Im $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ -Tupel aus Spaltenvektoren musst Du die Vektoren noch durch Kommata trennen, dann ist die Definition der Abbildung $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ perfekt.

Damit hast Du den leichten Teil der Aufgabe erfüllt: "Man gebe den naheliegenden Isomorphismus ... explizit an."

Jetzt beweist Du noch schnell, dass diese Abbildung bijektiv (injektiv und surjektiv) und homomorph (d.h. $\begin{eqnarray*} \forall \alpha,\beta \in K, \forall A,B\in K^{n\times r} : f(\alpha A+\beta B)=\alpha f(A)+\beta f(B) \end{eqnarray*}$ ) ist, und schon bist Du fertig. (Beachte: wie im ersten Teil ist auch der zweite und dritte Teil im wesentlichen eine Übungsaufgabe im Schönschreiben, und solche Übungen sind sinnvoll und notwendig. Wie soll man denn später einmal komplizierte Beweise verstehen oder selbst führen, wenn man das Handwerk nicht beherrscht ? Lehrer

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