Rand einer Oberfläche parametrisieren

02.01.2017, 22:12

gwemmi

Rand einer Oberfläche parametrisieren

Meine Frage:
Hi,

ich bräuchte bitte Hilfe bei folgender Aufgabe. Ich rechne gerade ein paar Übungsbeispiele. Es geht um den Satz von Stokes.
Da ist eine Fläche gegeben, deren Rand parametrisiert werden soll, damit man das Integral lösen kann.
Das Problem ist, dass wir bis jetzt nur Flächen gehabt haben wo es einfach klar war wie der Rand aussieht. (Kreis, Ellipse, was weiß ich ^^)
Jetzt fehlt mir einfach der Ansatz für folgendes Beispiel:

Die Fläche ist gegeben mit:

$\begin{eqnarray*} A(\phi, \theta) = \begin{pmatrix} cos\phi sin\theta \\ sin\phi sin\theta \\ cos\theta \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \phi \in [0, 2\pi], \theta \in [0, \frac{\pi}{4}] \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich hab mir mal die Musterlösung angeguckt, da finde ich aber nur "offensichtlich ist die Fläche parametrisiert durch ..." -_-
Ja, das hilft mir jetzt nicht, im Skript und in der Vorlesung wurden wie gesagt nur extrem einfache Flächen behandelt.
Ich weiß auch ehrlichgesagt gar nicht was das da genau für eine Fläche ist. (Ich hoffe, das ist jetzt nichts total einfaches, was man auf Anhieb erkennen können sollte. ^^)
Nun, es sieht wie etwas "kreisiges" aus. Augenzwinkern

Also einen tollen Ansatz kann ich leider nicht bieten, da ich genau danach suche. Einfach wie man sowas angeht, vielleicht ein Rezept?

LG

03.01.2017, 09:16

Ehos

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Die gegebene Fläche ist die obere "Kappe" einer Kugel mit dem Radius r=1 (wie bei einem Frühstücks-Ei). Die Parameterdarstellung der Oberfläche der gesamten Einheitskugel ist gegeben durch

$\begin{eqnarray*} \vec A(\theta, \phi)=\begin{pmatrix} \cos(\phi)\sin(\theta) \\ \sin(\phi)\sin(\theta) \\ \cos(\theta) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Winkel $\begin{eqnarray*} \phi; \theta \end{eqnarray*}$ sind der Breiten- bzw. Längengrad (wie bei einem Globus). Wenn man den Breitengrad $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ auf das Intervall $\begin{eqnarray*} \theta \in [0;45°] \end{eqnarray*}$ einschränkt, hat man die gegebene obere Kugel-Kappe. Deren Randkurve ist ein Kreis. Die Parameterdarstellung dieses Kreises erhält man, indem man den Breitengrad $\begin{eqnarray*} \theta=\tfrac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ einsetzt. Wegen $\begin{eqnarray*} \cos(\tfrac{\pi}{4})=\sin(\tfrac{\pi}{4})=\tfrac{1}{2}\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ lautet die Randkurve also

$\begin{eqnarray*} \vec a(\theta, \phi)=\tfrac{1}{2}\sqrt{2}\cdot \begin{pmatrix} \cos(\phi) \\ \sin(\phi) \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das ist wirklich "offensichtlich", wie es in deiner Musterlösung steht.

03.01.2017, 10:49

HAL 9000

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Zitat:

Original von Ehos
Die Winkel $\begin{eqnarray*} \phi; \theta \end{eqnarray*}$ sind der Breiten- bzw. Längengrad (wie bei einem Globus).

Eine kleine Anmerkung zu dem "Breitengrad wie bei einem Globus". Von der inhaltlichen Bedeutung stimmt das grundsätzlich, aber hinsichtlich der konkreten Werte gibt es dann doch Unterschiede:

$\begin{align*} \theta \end{align*}$ nimmt hier Werte im Intervall $\begin{align*} [0,\pi]=\left[0^{\circ},180^{\circ}\right] \end{align*}$ an, dabei entspricht $\begin{align*} \theta=0=0^{\circ} \end{align*}$ dem Nordpol und $\begin{align*} \theta=\pi=180^{\circ} \end{align*}$ dem Südpol.

Beim Globus-Breitengrad $\begin{align*} \beta \end{align*}$ steht hingegen $\begin{align*} \beta=\frac{\pi}{2}=90^{\circ} \end{align*}$ für den Nordpol und $\begin{align*} \beta=-\frac{\pi}{2}=-90^{\circ} \end{align*}$ für den Südpol. Zwischen beiden Größen besteht der Zusammenhang $\begin{align*} \beta=\frac{\pi}{2}-\theta = 90^{\circ}-\theta \end{align*}$ .

Diese unterschiedliche Breitengrad-Auffassung ist auch der Grund dafür, warum man auf unterschiedliche Kugelkoordinaten-Definitionen trifft (mit ein paar Vertauschungen sin <-> cos).

03.01.2017, 10:59

Ehos

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@Hal 9000
Das stimmt. Auf dem Globus ist der Norpol bei $\begin{eqnarray*} \theta=90° \end{eqnarray*}$ und bei den üblichen Kugelkoordinaten ist der Nordpol bei $\begin{eqnarray*} \theta=0° \end{eqnarray*}$ . Wir wissen, dass dies nur eine Frage der Definition ist.

03.01.2017, 11:03

HAL 9000

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Das war auch eher als Ergänzung für gwemmi gedacht, um etwaigen Verwirrungen vorzubeugen. Dass dir die Unterschiede bewusst sind, war mir schon klar. Augenzwinkern

05.01.2017, 22:03

gwemmi

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Mann, das war echt einfach. Tja, irgendwie peinlich, da muss ich mich ja fast entschuldigen dass ich so blöde Fragen stelle. ^^ Aber vielen Dank, habs mir mit dem Frühstücksei gut vorstellen können. Freude

Echt super, jetzt ists mir klar!

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