Parametrisierung - zwei Zylinder

03.01.2017, 01:03	z4ro	Auf diesen Beitrag antworten »
Parametrisierung - zwei Zylinder Meine Frage: Hi, hat jemand hier kurz Zeit mir etwas zu erklären? Ein Teil in einem Bespiel in meinem Skript ist mir nicht ganz klar. Es geht um den Schnitt zweier Zylinder. $\begin{eqnarray} x^2+y^2\leq a^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^2+z^2\leq a^2 \end{eqnarray}$ Es hakt bei der Parametrisierung. Meine Ideen: Ich hab mir das mal aufgezeichnet, allerdings kann ich echt schlecht zeichnen ^^ Gott sei Dank gibts das Internet mit schöneren Bildern. Jetzt hab ich zumindest die Idee dahinter (hinter der Aufteilung des Volumens) schon ein bisschen verstanden und wie das Flächenstück aussieht. Meine Musterlösung betrachtet hier den ersten Oktanten der x-y-Ebene. (0 < z) Die Parametrisierung lautet: $\begin{eqnarray} \phi(u,v) = \begin{pmatrix} v \\ u \\ \sqrt{a^2-v^2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u \in [0, a], v \in [0, ], u \leq v \end{eqnarray}$ Also mir ist nicht ganz klar warum die Fläche in diesem Oktanten durch x²+z²=a² gegeben ist. (Das ist der erste Satz im Skript) So wie ich das sehe besteht die Oberfläche dieses "Oktantenstücks" aus 2 Viertelkreisen und einem Quadrat (a²), wobei diese zwei Teile ja doch nichts zur Gesamtoberfläche betragen, weil sie sozusagen "innen" liegen. Das einzige Flächenstück das etwas beträgt kann ich nicht bestimmen. Kann mir da jemand helfen bitte?
03.01.2017, 09:41	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Meiner Meinung nach hast du recht: Der Schnitt beider Zylinder beschränkt sich nicht nur auf einen Oktanten, sondern auf alle 8 Oktanten. Hinweis: Eventuell ist es hilfreich, wenn man Zylinderkoordinaten verwendet, wobei der Radius mit a bezeichnet wird, also $\begin{eqnarray} u=a\cdot \cos(\phi) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v=a\cdot \sin(\phi) \end{eqnarray}$ Einsetzen in deine Formel ergibt die etwas einfachere Parameterdarstellung $\begin{eqnarray} \vec x(a, \phi)=a\cdot\begin{pmatrix} \cos(\phi) \\ \sin(\phi) \\ \sin(\phi) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
03.01.2017, 10:04	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier ein Bild.
05.01.2017, 23:28	z4ro	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, also so recht hab ichs noch nicht verstanden. Ich hab so ein ähnliches Bild gefunden, wenigstens stelle ich mir also das richtige Ding vor. ^^ Ich hab mir jetzt mal das überlegt um auf diese Parametriserung zu kommen, die im Skript steht: $\begin{eqnarray} 0 \leq z \leq a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 \leq y(z) \leq \sqrt{a^2 -z^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0\leq x(z,y) \leq \sqrt{a^2 -z^2} \end{eqnarray}$ Die explizite Darstellung für ein Oberflächenintegral wäre ja dann (das hab ich gerade gelesen): (x, y, f(x,y)), was ja wenn z = x = v genau dem entspricht was dort steht. Passt das so? Allerdings verstehe ich nicht so ganz warum das jetzt richtig ist. Meiner Meinung nach hab ich doch jetzt wenn ich da drüberintegriere mit dieser Parametrsierung tatsächlich a² als Lösung, aber hab ich nicht gerade eine geschlossene Oberfläche betrachtet? Die dürfte ich ja nicht einfach mal 8 nehmen, da sind ja Flächenstücke dabei, die dann im Inneren des Volumens sind. Und wenn nein, also wenn das tatsächlich so richtig ist (wäre ich erstens froh wenn mir jemand sagt wo mein Denkfehler liegt ^^) wieso wird dann das Ergebnis dieses Oktanten mit 16 multipliziert? Ich glaube ich stell mir das Ganze vielleicht doch nict richtig vor. Aber ich steh komplett auf dem Schlach und find den Fehler nicht.

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