Induktionsbeweis für rekursiv definierte Folgen

03.01.2017, 16:17

Khrosis

Induktionsbeweis für rekursiv definierte Folgen

Meine Frage:
Hey!
Also ich sitz grade an meiner Prüfungsvorbereitung für eine Matheklausur und hab grade ein Problem mit rekursiven Folgen.
Die Aufgabe besteht aus 3 Teilen, ich sitze grade am ersten:
(a) Wir betrachten die rekursiv definierte Folge
$\begin{eqnarray*} a_{1} = 1; \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = (n+1) \cdot a_{n}; \end{eqnarray*}$
für alle $\begin{eqnarray*} n \in N; n \geq 1 \end{eqnarray*}$
Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass $\begin{eqnarray*} a_{n} = n!; \end{eqnarray*}$ für alle n > 1 gilt.

Meine Ideen:
Also ich hab mir überlegt, da man bei der induktion ja immer zeigt, dass es für die kleinstmögliche Zahl (hier 1) und für n+1 geht (also den nächsten Schritt in der Folge) und es damit schließlich für alle Schritte gehen muss war mein erster Gedanke:
$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = (n+1) \cdot n! \end{eqnarray*}$
Setzt man nun in $\begin{eqnarray*} (n+1)! = (n+1) \cdot n! \end{eqnarray*}$ 1 ein, erhält man (1+1)! = (1+1)*1! was auf beiden Seiten 2 ergibt und somit wahr ist.
Da ich nun schlecht einfach sagen kann, das man das n! links rausziehen kann und das selbe wie auf der rechten Seite dasteht habe ich einfach erst mal das n+1 inkrementiert und dekrementiert. So erhielt ich:
$\begin{eqnarray*} ((n+1)+1)! = ((n+1)+1) \cdot (n+1)! \end{eqnarray*}$
Zusammengefasst also
$\begin{eqnarray*} (n+2)! = (n+2) \cdot (n+1)! \end{eqnarray*}$
Jetzt kann ich das also entweder einsetzen (das selbe gilt dann auch andersrum mit "-", ich bin gerade zu faul das ordentlich abzutippen, aber ist ja logisch, wenn man die Schritte immer weiter aufzieht steht dann da halt (n+1) * n * (n-1) * (n-2) * ... * (n-(n-1))! wobei der letzte teil also 1! ist (n - die Zahl vor n ist 1) jetzt hab ich mich verhaspelt, also ich setze das (n+1) gedöns in meine Ausgangsgleichung ein) und erhalte:
$\begin{eqnarray*} (n+2)! = (n+2) \cdot (n+1) \cdot n! \end{eqnarray*}$
oder ich spinne mal weiter und setze immer weitere inkremente (bzw auch wieder dekremente) ein und erhalte damit:
$\begin{eqnarray*} ((((n+1)+1)+1)+...)! = ((((n+1)+1)+1)+...) \cdot n! \end{eqnarray*}$
was gleichbedeutend ist mit
$\begin{eqnarray*} \infty ! = \infty * n! \end{eqnarray*}$
was ja das selbe ist (jedoch garantiert noch nicht mathematisch ausreichend ausgedrückt).

Hier komme ich nicht weiter, ich hatte noch eine idee, bei der ich n+1 und n-1 gleichzeitig einsetze, das sieht dann wie folgt aus:
$\begin{eqnarray*} ((n+1)-(n-1))! = ((n+1)-(n-1)) \cdot (n-(n-1))! \end{eqnarray*}$
und da die Zahl nach n- der Zahl vor n = 2 ist und n - der zahl vor n = 1 steht ja dann da:
2! = 2*1!
was durchaus wieder wahr ist, allerdings erneut mumpitz wie ich glaube.
Vielleicht kann mir jemand einen denkanstoß geben (ala - benutze das Produkt oder Summenzeichen und spüre die Macht der Mathematik!).
MfG
Khrosis aka Acki

03.01.2017, 16:24

HAL 9000

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Zitat:

Original von Khrosis
(a) Wir betrachten die rekursiv definierte Folge
$\begin{eqnarray*} a_{1} = 1; \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = (n+1) \cdot a_{n}; \end{eqnarray*}$
für alle $\begin{eqnarray*} n \in N; n \geq 1 \end{eqnarray*}$

Hmm, manche definieren die Fakultät auf diese rekursive Weise, und in dem Fall wäre dann gar nichts zu tun hier. Der Beweis steht und fällt also damit, dass du mit der richtigen Fakultätsdefinition arbeitest - welche auch immer das bei euch ist. Wenn du das nicht sauber tust, wirst du dich hier nur sinnlos im Kreise drehen.

03.01.2017, 16:47

Khrosis

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Wie kann man das denn sonst noch definieren? Hast du ein Beispiel?

03.01.2017, 16:53

HAL 9000

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Naja, man könnte es direkt als Produkt $\begin{align*} n! := \prod_{k=1}^n k \end{align*}$ definieren.

Oder über die Gammafunktion - aber diese Variante halte ich hier eher für unglaubwürdig. Big Laugh

03.01.2017, 16:59

Khrosis

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Naja damit kann ich immerhin was hinwurschteln, ich meld mich sobalds wieder harkt Big Laugh

Danke dir!

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