Pyramide aus Volumen und Oberfläche berechnen - Seite 2

05.01.2017, 10:06

Steffen Bühler

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Nicht kurz vorm Ziel aufgeben.

Wurzel isolieren heißt:

$\begin{align*} 500 =a^2 + a\sqrt{a^2+ 4 \left( \frac {1714,29} {a^2} \right) ^2} \to 500 -a^2 =a\sqrt{a^2+ 4 \left( \frac {1714,29} {a^2} \right) ^2} \end{align*}$

Quadrieren heißt:

$\begin{align*} \left( 500 -a^2 \right) ^2 =a^2 \cdot \left({a^2+ 4 \left( \frac {1714,29} {a^2} \right) ^2} \right) \end{align*}$

Und so weiter.

05.01.2017, 11:11

mYthos

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Zitat:

Original von Steffen Bühler
...
$\begin{align*} \left( 500 -a^2 \right) ^2 =a^2 \cdot \left({a^2+ 4 \left( \frac {1714,29} {a^2} \right) ^2} \right) \end{align*}$
...

Wenn mit der Dezimalzahl 1714,29 weiter gerechnet wird, kommt man letztendlich auf

$\begin{eqnarray*} a^4 - 250a^2 + 11755.102 = 0 \end{eqnarray*}$

Damit erzielt man natürlich dieselben Resultate, denn dies ist die durch 49 dividierte von mir zuerst angegebene Gleichung.

---------------------

Mathematisch "ästhetischer" ist freilich das Vermeiden von frühzeitig (noch während des Rechenganges) gerundeter Dezimalzahlen, denn dies kann ungenaue Ergebnisse verursachen.
Stattdessen werden Brüche geschrieben.

$\begin{eqnarray*} \text{Mit }a^2h = 3 \cdot \frac{4000} 7 = \frac {12000} 7 \quad \to \ h = \frac{12000}{7a^2}\ \text{ wird letztendlich } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (500 - a^2)^2 = a^2\left(a^2 + 4 \cdot \left(\frac{12000}{7a^2}\right)^2\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (500 - a^2)^2 = a^2\left(a^2 + \frac{4 \cdot 144000000}{49a^4}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

Jetzt ist bereits zu sehen, woher die 49 kommen.

mY+

05.01.2017, 11:49

r.chrisi

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$\begin{eqnarray*} \frac{(500-a^2)^2}{a^2} -a^2= \frac{675000000}{49a^4} \end{eqnarray*}$ /quadrat kann man kürzen also

$\begin{eqnarray*} \frac{(500-a^2)}{a} -a^2= \frac{675000000}{49a^4} \end{eqnarray*}$
jetzt das ganze mal $\begin{eqnarray*} 49a^4 \end{eqnarray*}$ nehmen??

05.01.2017, 11:56

HAL 9000

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Anmerkung: Noch schöner wäre es, erstmal soweit wie möglich mit $\begin{align*} O \end{align*}$ und $\begin{align*} V \end{align*}$ statt den konkreten Zahlen zu arbeiten - Steffen hatte ja oben versucht, in jene Richtung zu agieren. Ist m.E. auch irgendwie übersichtlicher, als die krummen Zahlen bzw. vielen Nullen durch die ganze Rechnung zu schleppen - aber das ist wohl persönliche Ansichtssache. Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.01.2017, 11:56

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von r.chrisiquadrat kann man kürzen

Kann man nicht. $\begin{align*} \frac {6^2}{3^2} \neq \frac63 \end{align*}$

05.01.2017, 12:05

r.chrisi

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Hmm Hast recht mir dem kürzen. Das Beispiel ist einfach für mich nicht lösbar und die Freude es zu lösen geht auch schon gegen null da ich überhaupt nicht weiterkomme und das schon seit Tagen. Ohne eure Hilfe wäre ich noch nicht einmal einen Schritt weiter, und jeder Schritt geht eigentlich von euch aus und leider nicht von mir. Bin eigentlich sehr frustriert was das ganze angeht. Und ich sehe immer noch keinen Weg wie es weitergehen soll obwol ihr mir ja diei Lösung schon präsentiert habt. Komme warum auch immer nicht auf diese Gleichung. Aber Hut ab ihr habt es wirklich drauf das muss ich schon sagen.

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05.01.2017, 12:32

Leopold

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Wie Steffen Bühler schon gesagt hat: Ein Quadrat kann man niemals kürzen. Die letzte richtige Gleichung, den Zahlendreher korrigiert, war daher

$\begin{align*} \frac{\left( 500 - a^2 \right)^2}{a^2} - a^2 = \frac{576000000}{49a^4} \end{align*}$

Die nächsten Schritte führe ich einmal vor. Es wird ein bißchen übersichtlicher, wenn du $\begin{align*} a^2 = x \end{align*}$ substituierst:

$\begin{align*} \frac{\left( 500 - x \right)^2}{x} - x = \frac{576000000}{49x^2} \end{align*}$

Jetzt mit $\begin{align*} 49x^2 \end{align*}$ durchmultiplizieren:

$\begin{align*} \left( \frac{\left( 500 - x \right)^2}{x} - x \right) \cdot 49x^2 = \frac{576000000}{49x^2} \cdot 49x^2 \end{align*}$

Und links an das Distributivgesetz denken (ausmultiplizieren):

$\begin{align*} 49x \cdot \left( 500 - x \right)^2 - 49x^3 = 576000000 \end{align*}$

Frage nach, wenn du einen Umformungsschritt nicht verstanden hast. Dann führe die Rechnung zu Ende.

05.01.2017, 12:36

mYthos

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Die ganze Bruchrechnerei macht erfahrungsgemäß den algebraisch Ungeübten ziemliche Schwierigkeiten.

Vorschlag:

$\begin{eqnarray*} a^4 - 250a^2 + 11755.102 = 0 \end{eqnarray*}$

Bis dahin wenigstens klar?
Kommst du damit besser zurecht? Steht dir irgendwelche Technologie zur Verfügung (GTR, GeoGebra, CAS, ..)

In heutigen Zeiten rechnet sowieso kaum wer noch das Ganze manuell, warum sollte man also nicht Technologieeinsatz bemühen?
Wichtig ist nur, dass man weiß, was man einzugegen hat, wie und warum.

EDIT:
Mhhhm, ich hatte den Beitrag von Leopold bisher nicht gesehen.
Nachdem er das schon so weit entwickelt hat, versuche zunächst doch noch, dort anzuknüpfen!
Nur wenn es partout nicht funktionieren sollte, kannst ja noch den anderen Weg nachverfolgen.

mY+

05.01.2017, 13:01

Leopold

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Zitat:

Original von mYthos
Die ganze Bruchrechnerei macht erfahrungsgemäß den algebraisch Ungeübten ziemliche Schwierigkeiten.

[Off-Topic]
Es ist ein Graus, denn das Rechnen mit Bruchtermen wird, wenn überhaupt, nur noch rudimentär behandelt, zumindest bei uns in Baden-Württemberg. In meiner Anfangszeit als Lehrer war das ein wichtiges Themengebiet, das über Wochen geübt wurde: Faktorisieren, Hauptnenner bestimmen, Zähler addieren, ausmultiplizieren, ordnen und alles, was so dazugehört. Für den Lehrer und die Schüler waren das furchtbare Wochen, denn zugegebenermaßen ist das kein Themengebiet, das die Leute aus sich heraus begeistert. Da interessante Stunden zu halten, ist fast nicht möglich. Es ist halt Übestoff, den man trainieren muß, bis er sitzt. Und viele haben es auch damals nicht kapiert. Nur heute ist es so, daß es gar keiner mehr kann, auch nicht die begabten Mathematikschüler(innen). Es ist ein Graus.
[/Off-Topic]

05.01.2017, 13:14

r.chrisi

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Also als Technologieen stehen mir eigentlich nur der Texas TI 30x zur Verfügung.

Da ist es eigentlich auch schon sehr dunkel:

Vorschlag:

$\begin{eqnarray*} a^4 - 250a^2 + 11755.102 = 0 \end{eqnarray*}$

Bis dahin wenigstens klar?

Eigentlich Nein traurig

traurig

traurig

05.01.2017, 13:15

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von r.chrisi
Komme warum auch immer nicht auf diese Gleichung.

Dann doch noch mal die Frage: Im Titel stand doch zunächst was von Newton-Verfahren. Das würde bedeuten, dass wir diese Gleichung nicht unbedingt knacken müssen! Eventuell ist hier Newton sogar gefordert. Ist das so?

Dann würde ich nämlich an Deiner Stelle mit

$\begin{align*} \frac{\left( 500 - a^2 \right)^2}{a^2} - a^2 = \frac{576000000}{49a^4} \to \frac{\left( 500 - a^2 \right)^2}{a^2} - a^2 - \frac{576000000}{49a^4}=0 \end{align*}$

weitermachen und nun die Nullstellen von

$\begin{align*} f(a)=\frac{\left( 500 - a^2 \right)^2}{a^2} - a^2 - \frac{576000000}{49a^4} \end{align*}$

mit Hilfe von Herrn Newton bestimmen.

Ansonsten: Dein Frust ist völlig normal, den hatten wir hier alle mal. Wichtig ist, sich davon nicht fertigmachen zu lassen. Per aspera ad astra.

05.01.2017, 13:22

r.chrisi

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Genau so ist es gefordert. Löse mit Newtoschen Lösungsverfahren

05.01.2017, 13:28

Leopold

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Zitat:

Original von r.chrisi
Löse mit Newtoschen Lösungsverfahren

Da sehe ich aber im Vergleich mit der algebraischen Lösung keine Rechenvorteile. verwirrt

verwirrt

05.01.2017, 13:31

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Leopold
keine Rechenvorteile.

Natürlich nicht, aber es soll dann wohl Newton geübt werden.

Ok, dann brauchen wir jetzt f'(a). Auf geht's.

05.01.2017, 13:41

r.chrisi

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F´(a)= (-(2*(500-a^2)^2)/a^3)-(4*(500-a^2))/a-2*a+2304000000/(49*a^5)

jetzt noch Wertetabelle und F(a)/F`(a) richtig?

05.01.2017, 13:44

Steffen Bühler

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So ist es.

05.01.2017, 14:28

mYthos

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Ich muss jetzt auch da bei Leopold einhaken: Es ist wirklich zum Kopf schütteln!
Damit ist NICHT der Schüler, sondern die Lehrauffassung an dieser Schule gemeint:
Will man sich nicht einer biquadratischen Gleichung auseinandersetzen - was übrigens gar nicht schwer ist und unbedingt zum algebraischen Übungsstoff gehören sollte - bemüht man halt Newton.

Dieser sollte allerdings nur bei algebraisch unlösbaren bzw. mit komplexen Verfahren zu lösenden Gleichungen angewandt werden.

Es könnte auch durchaus sein, dass es der Lehrer gar nicht "überrissen" hat, dass die Gleichung mittels Substitution algebraisch leicht lösbar ist. Forum Kloppe

Forum Kloppe

Es bleibt, sich nur noch zu wundern:
Die Rechnung mittels Newton ist hier wesentlich komplizierter und ohne Technologie kaum durchführbar. Da wäre sogar die Regula Falsi noch einfacher, denn die konvergiert sicher.

Hast du übrigens schon behirnt, dass es da zwei Lösungen gibt?
Deswegen kommt noch zusätzlich das Problem des Aufsuchens des richtigen Startwertes hinzu.
Und dann das Ganze 2x rechnen! Viel Vergnügen!
geschockt

geschockt

05.01.2017, 14:38

r.chrisi

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Also mit Newton funktioniert es Tanzen

Tanzen

Fehlt nur noch der Docht

05.01.2017, 14:39

Leopold

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@ mYthos

Ich habe prinzipiell nichts dagegen, Newton anzuwenden. Und sei es nur zur Übung. Übung ist ja nie schlecht. Die Frage, die sich mir stellt, ist nur: Für welche Funktion soll Newton angewendet werden? Prinzipiell kann man ja jede der Gleichungen, die während des Lösungsprozesses entstehen, zu einem Nullstellenproblem machen. Man könnte zum Beispiel auch noch mit $\begin{align*} 49a^4 \end{align*}$ durchmultiplizieren. Mit dieser Gleichung kann man dann Newton auf eine ganzrationale Funktion anwenden.

Aber jetzt wird es doch zu Off-Topic. Ich ziehe mich hier zurück. Am besten hätte ich mich gar nicht eingemischt. Hier rühren schon zu viele Köche im selben Brei. Sorry ...

05.01.2017, 14:50

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von r.chrisi
Also mit Newton funktioniert es

Prima! Bekommst Du beide Lösungen?

Zitat:

Original von r.chrisi
Fehlt nur noch der Docht

Der ist dann schnell berechnet. Du kennst den Zusammenhang zwischen a und h. Und der Docht soll ein Zentimeter länger als die Höhe sein.

05.01.2017, 15:24

r.chrisi

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Ja bekomme beide Ergebnisse mit Newton, habe 8 und 14 eingesetzt da dort der negative zum positiven Übergang war. Jetzt muss ich mal alles Ordnen und hoffe das es dann immer noch klar ist. Melde mich in ca 15-30min

05.01.2017, 16:24

r.chrisi

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Alles erledigt.nochmals Danke

05.01.2017, 16:55

mYthos

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smile

Jetzt kannst du hoffentlich wieder besser schlafen Big Laugh

Big Laugh

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