Strenge Konvexität

03.01.2017, 22:56

Bill123

Strenge Konvexität

Meine Frage:
Die kubische Funktion f(x)=x^3 ist auf ganz R betrachtet weder konvex noch konkav.
Auf dem Intervall (-unendlich,0] ist sie streng konkav und auf dem Intervall [0,unendlich) streng konvex.

Warum gehört laut mathematischer Literatur die 0 jeweils zu den Intervallen hinzu und man spricht dennoch von strenger Konvexität/Konkavität? Setzt man die 2. Ableitung der Funktion gleich 0 kommt ja 0 heraus, dass widerspricht sich doch dann mit der strengen Konvexität/Konkavität oder?

Außerdem wäre die Funktion ja dann bei dem x-Wert=0 sowohl streng konvex als auch streng konkav?

Ich hoffe ihr könnt mir helfen :=)

Meine Ideen:
...

03.01.2017, 23:13

Clearly_wrong

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Das widerspricht sich nicht. Dass für eine zweifach differenzierbare Funktion die 2. Ableitung strikt größer als Null ist, ist hinreichend für strikte Konvexität, nicht notwendig.

Zitat:

Außerdem wäre die Funktion ja dann bei dem x-Wert=0 sowohl streng konvex als auch streng konkav?

Das ergibt keinen Sinn. Strikte Konvexität kann man nicht auf 1-Punkt Intervallen betrachten.

03.01.2017, 23:31

Bill123

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Ahh das mit dem Ein Punkt Intervall hat mich weiter gebracht!

Daraus schließe ich jetzt mal, dass man auch das Monotonieverhalten einer Funktion, sprich monoton wachsend/fallend nicht auf 1-Punkt Intervallen betrachten kann oder!?

Warum heißt es dann aber in mathematischer Literatur die Funktion f(x)= Betrag von x
ist monoton fallend für x kleiner 0
&
monoton wachsend für x größer 0 ?

Könnte man dann auch sagen die Funktion f(x)= Betrag von x ist monoton fallend für x kleiner/gleich 0
&
monoton wachsend für x größer/gleich 0 ?

Weil ab 0 wird die Funktion ja dann stets größer bzw. kleiner.

Vielen Dank für die Hilfe

03.01.2017, 23:40

Clearly_wrong

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Monotonie kann man da schon betrachten, nur strenge Monotonie ist nicht sinnvoll, weil man dafür verschiedene Punkte braucht. Deine Überlegungen zum Betrag sind richtig.

03.01.2017, 23:53

Bill123

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warum reicht es für eine Monotoniebetrachtung aus ein 1-Punkt Intervall zu betrachten? Das versteh ich nicht.

Ist die Betragsfunktion f(x)= Betrag von x streng monoton wachsend/fallend oder nur monoton wachsend/fallend ?

03.01.2017, 23:58

Clearly_wrong

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Weil für die Definition von Monotonie keine zwei verschiedenen Punkte benötigt werden, für strenge Monotonie schon. Man könnte auch sagen, dass sich strenge Monotonie für Ein-Punkt-Intervalle definieren lässt und dann die Bedingung eben leer ist, weil man keine verschiedenen Punkte wählen kann. Wirklich sinnvoll ist das aber nicht.

04.01.2017, 00:13

Bill123

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okay gut.

ist die Betragsfunktion f(x)= Betrag von x dann steigend für alle x größer 0
oder
ist sie steigend für alle x größer/gleich 0 ??

und ist sie streng monoton steigend bzw. fallend oder lediglich monoton steigend bzw. fallend?

ich danke dir

04.01.2017, 00:25

Clearly_wrong

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Sie ist nicht steigend für irgendwelche x, das ist keine Eigenschaft, die punktweise nachgeprüft wird, sie ist streng monoton steigend auf der Menge [0, unendlich)

04.01.2017, 00:41

Bill123

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Cool, alle meine Fragen sind soweit beantwortet.

Vielen Dank :-)

04.01.2017, 10:12

HAL 9000

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Zitat:

Original von Clearly_wrong
Weil für die Definition von Monotonie keine zwei verschiedenen Punkte benötigt werden, für strenge Monotonie schon.

Sowohl die Definition der Monotonie als auch der strengen Monotonie basieren auf zwei Punkten! D.h., Funktion $\begin{align*} f:\;D\to W \end{align*}$ ist

a) monoton wachsend, wenn $\begin{align*} f(x_1)\leq f(x_2) \end{align*}$ für alle $\begin{align*} x_1,x_2\in D \end{align*}$ mit $\begin{align*} x_1<x_2 \end{align*}$ gilt,

b) streng monoton wachsend, wenn $\begin{align*} f(x_1)<f(x_2) \end{align*}$ für alle $\begin{align*} x_1,x_2\in D \end{align*}$ mit $\begin{align*} x_1<x_2 \end{align*}$ gilt.

Wenn $\begin{align*} D \end{align*}$ nun nur aus einem Punkt besteht, dann ist die Funktion gemäß dieser Definitionen trivialerweise sowohl monoton wachsend als auch streng monoton wachsend. Augenzwinkern

04.01.2017, 11:28

Leopold

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Ich weiß, es wurde hier schon mehrfach gesagt. Aber man kann es nicht häufig genug wiederholen:

Monotonie ist eine Eigenschaft für Funktionen in Intervallen, nicht in Punkten.

Für viele Menschen ist das eine gedankliche Hürde, die sie kaum zu überspringen vermögen. (Ich hatte einmal einen Referendar, mit dem ich diese Problematik durchgekaut habe, bis er sie verstanden hatte. So glaubte ich jedenfalls. Denn als er die Sache dann im Unterricht behandelte, ging er darüber hinweg. Er selbst hatte es nämlich nicht verstanden. Und das nach einem abgeschlossenen Mathematikstudium. Es ist halt wirklich schwer. In den Begriff und Wert der Ableitung $\begin{align*} f'(x_0) \end{align*}$ geht ja nicht nur die Stelle $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ , sondern eine ganze Umgebung ein. Umgekehrt kann man aus dem Wert $\begin{align*} f'(x_0) \end{align*}$ nur ganz vorsichtig Aussagen über eine Umgebung von $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ machen.)

Die reelle Funktion $\begin{align*} f \end{align*}$ sei im Intervall $\begin{align*} I \end{align*}$ stetig und in $\begin{align*} \dot I \end{align*}$ , dem Innern von $\begin{align*} I \end{align*}$ , differenzierbar:

Ist $\begin{align*} f'(x) > 0 \end{align*}$ für alle $\begin{align*} x \in \dot I \end{align*}$ , so ist $\begin{align*} f \end{align*}$ in $\begin{align*} I \end{align*}$ streng monoton wachsend.

[ Ist $\begin{align*} f'(x) < 0 \end{align*}$ für alle $\begin{align*} x \in \dot I \end{align*}$ , so ist $\begin{align*} f \end{align*}$ in $\begin{align*} I \end{align*}$ streng monoton fallend. ]

Anwendungen des Satzes (Voraussetzungen sind jeweils erfüllt):

Beispiel 1

$\begin{align*} f(x) = x^3 \, , \ \ I = (0,\infty) \end{align*}$

$\begin{align*} f \end{align*}$ ist in $\begin{align*} I \end{align*}$ streng monoton wachsend.

Beispiel 2

$\begin{align*} f(x) = x^3 \, , \ \ I = [0,\infty) \end{align*}$

$\begin{align*} f \end{align*}$ ist in $\begin{align*} I \end{align*}$ streng monoton wachsend.

Beispiel 3

$\begin{align*} f(x) = x^3 \, , \ \ I = (-\infty,0] \end{align*}$

$\begin{align*} f \end{align*}$ ist in $\begin{align*} I \end{align*}$ streng monoton wachsend.

Beispiel 4

Kombination von Beispiel 2 und Beispiel 3: $\begin{align*} f(x) = x^3 \end{align*}$ ist in $\begin{align*} (-\infty,\infty) \end{align*}$ streng monoton wachsend. (Und das, obwohl $\begin{align*} f'(0) = 0 \end{align*}$ ist. Der Fall spielt überhaupt keine Rolle, weil es in Beispiel 2 und Beispiel 3 nur auf das Innere der Intervalle ankommt.)

Natürlich ist die globale strenge Monotonie von $\begin{align*} f(x) = x^3 \end{align*}$ auch ohne Differentialrechnung klar. Hier soll nur demonstriert werden, wie der Satz angewendet werden kann.

Beispiel 5

$\begin{align*} f(x) = \left| \sin(x) \right| \, , \ \ I = \left[ - \frac{\pi}{2} , 0 \right] \, , \ \ J = \left[ 0 , \frac{\pi}{2} \right] \end{align*}$

Der Satz ist auf die Intervalle $\begin{align*} I \end{align*}$ und $\begin{align*} J \end{align*}$ anwendbar, im Innern der Intervalle liegt jeweils Differenzierbarkeit vor. Im ersten Intervall folgt streng monotones Fallen, im zweiten streng monotones Wachsen. Als besitzt $\begin{align*} f \end{align*}$ bei $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ ein lokales Minimum.

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