Lineare Abbildung

04.01.2017, 01:15

bimdot

Lineare Abbildung

Hallo Leute, ich habe 3 Hausübung und eins habe ich gelost und mit der andere beschäftige ich mich grad aber mit dieser aufgabe komme ich uberhaupt nicht weiter und ich habe net viel zeit bis abgabe und es wurde mich sehr freuen wenn mir jemand helfen konnte indem jemand mir die aufgabe lost und mir die losung schickt wie er es gelost hat.

[attach]43486[/attach]

04.01.2017, 09:06

Elvis

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Mit dem allgemein gültigen Hinweis, dass in den Spalten der darstellenden Matrix die Bilder der Basisvektoren stehen, kannst Du diese Aufgabe ganz leicht lösen. Die Zusatzfrage ist dann eine Art Probe, die nachweisen wird, dass die Matrix richtig aufgestellt wurde.

04.01.2017, 15:15

bimdot

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kannst du vl mir eine ahnliche geloste aufgabe zeigen? Falls du eine hast oder im internet finden kannst.

04.01.2017, 18:27

Elvis

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Selbstgemachtes Beispiel ( komplexe Konjugation als Isomorphismus des reellen Vektorraums $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ auf den reellen Vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ ) :
Sei $\begin{eqnarray*} f:\mathbb C\to \mathbb R^2, z=a+bi\mapsto \begin{pmatrix} a \\ -b \end{pmatrix}, A=\{1,i\}, B=\{\begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\1 \end{pmatrix}\} \end{eqnarray*}$
Dann ist $\begin{eqnarray*} f(1)=1\cdot \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix}-0\cdot \begin{pmatrix} 0 \\1 \end{pmatrix},f(i)=0\cdot \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix}-1\cdot\begin{pmatrix} 0 \\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , also die Darstellungsmatrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -0 & -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Direkte Berechnung: $\begin{eqnarray*} f(z)=f(a+bi)=a-bi \end{eqnarray*}$
Berechnung über die Matrixmultiplikation: $\begin{eqnarray*} f(z)=f(a+bi)=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a \\b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a \\ -b \end{pmatrix}=a-bi=\overline z \end{eqnarray*}$

06.01.2017, 23:46

ontheway

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Zitat:

Original von Elvis
Selbstgemachtes Beispiel ( komplexe Konjugation als Isomorphismus des reellen Vektorraums $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ auf den reellen Vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ ) :
Sei $\begin{eqnarray*} f:\mathbb C\to \mathbb R^2, z=a+bi\mapsto \begin{pmatrix} a \\ -b \end{pmatrix}, A=\{1,i\}, B=\{\begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\1 \end{pmatrix}\} \end{eqnarray*}$
Dann ist $\begin{eqnarray*} f(1)=1\cdot \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix}-0\cdot \begin{pmatrix} 0 \\1 \end{pmatrix},f(i)=0\cdot \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix}-1\cdot\begin{pmatrix} 0 \\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , also die Darstellungsmatrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -0 & -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Direkte Berechnung: $\begin{eqnarray*} f(z)=f(a+bi)=a-bi \end{eqnarray*}$
Berechnung über die Matrixmultiplikation: $\begin{eqnarray*} f(z)=f(a+bi)=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a \\b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a \\ -b \end{pmatrix}=a-bi=\overline z \end{eqnarray*}$

Kannst du das am original Beispiel fur $\begin{eqnarray*} f(\mathbb ct^2) \end{eqnarray*}$ bitte zeigen. Ich komme einfach nicht drauf, bzw bin mir nicht ganz sicher ob es richtig ist:

$\begin{eqnarray*} v=a+bt+ \mathbb ct^2 , F(p(t)) = \begin{pmatrix} p(0) \\p(1) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie setzt man jetzt richtig ein, wegen dem p(0) und p(1) ?
Was zeigt das genau?

Danke!

07.01.2017, 09:14

Elvis

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Es kann nicht sein, dass Du nicht weißt, wie man den Wert p(x) eines Polynoms p an der Stelle x berechnet.

07.01.2017, 21:12

ontheway

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Ich weis nicht was du genau eingesetzt hast bei der Berechnung von f(1) .

Was mich verwirt ist halt die Funktion F(p(t)) = (p(0)/p(1))

PS. Ich Studiere Informatik und nicht Mathematik, deshalb ist für mich nicht jedes Beispiel leicht verständlich, aber ich bemühe mich. Schließlich will ich die Prüfung schaffen! Ist halt das letzte Beispiel das ich nicht schaffe zu lösen.

DANKE für deine Zeit und Mühe im Voraus ;D

07.01.2017, 21:55

Elvis

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$\begin{eqnarray*} p(t)=a+bt+ct^2\Rightarrow p(0)=a,p(1)=a+b+c\Rightarrow F(p(t))=\begin{pmatrix}p(0)\\p(1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a\\a+b+c\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Das benutzt Du jetzt für die Basispolynome $\begin{eqnarray*} 1,t,t^2 \end{eqnarray*}$ und schreibst die Vektoren als Spalten der Matrix.

08.01.2017, 10:33

ontheway

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f(1) = (1 0)
f(t) = (0 1)
f(t^2) = (0 1)

darstellende Matrix ist dan
(1 0 0)
(1 1 1)

Stimmt das so?

08.01.2017, 11:26

Elvis

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Die Schreibweise ist nicht gut, und die lineare Abbildung heißt F und nicht f, also $\begin{eqnarray*} F(1)=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix},F(t)=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix},F(t^2)=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\Rightarrow A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zum Schluss soll man zeigen, dass $\begin{eqnarray*} F(p(t))=A\cdot c(p(t)) \end{eqnarray*}$ gilt, und das ist ja nun ein Klacks.

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