Partielle Diffbarkeit

04.01.2017, 01:54	LKWPeter	Auf diesen Beitrag antworten »
Partielle Diffbarkeit Meine Frage: Hallo, es soll gezeigt werden, dass die Funktion $\begin{eqnarray} f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} : x \mapsto \left\{\begin{matrix}<br /> \frac{x_1^3x_2-x_1x_2^3 }{x_1^2+x_2^2}, & (x_1,x_2)\neq (0,0)\\ <br /> 0, & \text{sonst}<br /> \end{matrix}\right. \end{eqnarray}$ zwei mal partiell differenzierbar ist, die partiellen Ableitungen $\begin{eqnarray} \partial_x \partial_yf(0,0) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \partial_y \partial_x f(0,0) \end{eqnarray}$ aber nicht übereinstimmen. Meine Ideen: Wie gehe ich vor, um zu zeigen, dass die beiden partiellen Ableitungen in (0,0) nicht übereinstimmen? Ich habe das ganze schon mal vom Rechner ausrechnen lassen, komme aber in beiden Fällen auf das gleiche, das Ergebnis ist allerdings in (0,0) gar nicht erst stetig. (Wäre diese stetig, dann wären die beiden zweifachen partiellen Ableitungen nach den Satz von Schwarz ja auch gleich, aber eine Art Umkehrung gilt ja nicht bzw bringt mich hier eh nicht weiter...) Wie kann ich das zeigen?
04.01.2017, 03:04	LKWPeter	Auf diesen Beitrag antworten »
(Anmerkung: In der Frage sollte es natürlich $\begin{eqnarray} \partial_1\partial_2f(0,0) \end{eqnarray}$ bzw $\begin{eqnarray} \partial_2\partial_1f(0,0) \end{eqnarray}$ heißen) Also, ich glaube ich bin weiter gekommen. Ich habe für die ersten partiellen Ableitungen berechnet: $\begin{eqnarray} \partial_1f(x_1,x_2)=x_2\frac{x_1^4+4x_1^2x_2^2-x_2^4}{(x_1^2+x_2^2)^2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \partial_2f(x_1,x_2)=-x_1\frac{x_2^4+4x_1^2x_2^2-x_1^4}{(x_1^2+x_2^2)^2} \end{eqnarray}$ berechnet. Dann habe ich gezeigt, dass $\begin{eqnarray} \partial_1f(0,0)=(0,0) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \partial_2f(0,0)=(0,0) \end{eqnarray}$ eine stetige Fortsetzung ist, somit ist f stetig partiell diffbar. Für die zweite partielle Ableitung erhalte ich $\begin{eqnarray} \partial_2\partial_1f(0,0)=\lim_{t \to 0} \frac{\partial_1f(0,t)-\partial_1f(0,0)}{t}=\lim_{t \to 0} \frac{\partial_1f(0,t)}{t}=1 \end{eqnarray}$ und analog $\begin{eqnarray} \partial_2\partial_1f(0,0)=-1 \end{eqnarray}$ , sie stimmen also nicht überein. Allgemein die 2 fache partielle Diffbarkeit zeige ich doch einfach indem ich die partiellen Ableitungen $\begin{eqnarray} \partial_1\partial_2f \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \partial_1\partial_1f \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \partial_2\partial_1f \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \partial_2\partial_2f \end{eqnarray}$ ausrechne oder? (Schreibfehler vorbehalten :P)
04.01.2017, 07:50	Namenloser324	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Diffbarkeit zeigst du, in dem du zeigst, dass die Grenzwerte der Differentialquotionenten existieren. Sofern du das gemacht hast (du schreibst du hättest die ersten partiellen Ableitungen berechnet), dann ist das i.O. Klingt aber so als hättest du einfach die üblichen Ableitungsregeln angewandt, was nicht korrekt wäre, wenn gezeigt werden soll, dass man das darf. Du kannst aber argumentieren, dass es sich (in jeweils einer Variable) um eine Verkettung diffbarer Fkt. handelt und für die gilt ...
04.01.2017, 16:45	LKWPeter	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, Diffbarkeit in jedem Punkt außer (0,0) ist als Verkettung von diffbaren Funktionen klar. Für (0,0) habe ich ja für die erste partielle Ableitung gezeigt, dass diese den Wert 0 annimmt (ich habe geschrieben, dass wenn ich 0 als Ableitung an dieser Stelle setze die entstandene Funktion stetig ist, also ist 0 insbesondere der Grenzwert des Differentialquotienten an dieser Stelle, oder?) Die zweiten partiellen Ableitungen $\begin{eqnarray} \partial_1\partial_2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \partial_2\partial_1 \end{eqnarray}$ an der Stelle (0,0) habe ich dann ja als 1 und -1 berechnet, alle anderen Stellen sind wieder klar, da es sich hier um Verkettung diffbarer Funktionen handelt.

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