DGL: Euler-Ansatz mit komplexer Lösung

04.01.2017, 13:35

balance

DGL: Euler-Ansatz mit komplexer Lösung

Hallo,

$\begin{eqnarray*} y^{(4)}+-2y'''+2y''-2y'+y=0 \end{eqnarray*}$ soll gelöst werden.

Wir nutzen den Euler-Ansatz [ $\begin{eqnarray*} y(x)=e^{\lambda x} \end{eqnarray*}$ ] und bekommen:

$\begin{eqnarray*} \lambda^4-2\lambda^3+2\lambda^2-2\lambda+1=0 \end{eqnarray*}$

Wir erraten $\begin{eqnarray*} \lambda_1 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda^4-2\lambda^3+2\lambda^2-2\lambda+1 : (\lambda-1)=\lambda^3-\lambda^2+\lambda-1 \end{eqnarray*}$

Wir sehen dass auch dieses Polynom wieder die Lösung $\begin{eqnarray*} \lambda_1=1 \end{eqnarray*}$ hat. Somit ist $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ doppelte Nullstelle.

$\begin{eqnarray*} \lambda^3-\lambda^2+\lambda-1: (\lambda-1) = \lambda^2+1 \end{eqnarray*}$

Somit $\begin{eqnarray*} \lambda_{2,3} = \pm i \end{eqnarray*}$

Somit $\begin{eqnarray*} y(x) = Ae^x + Bxe^x + Ce^{-ix} + De^{ix} \end{eqnarray*}$

Das ist meine Lösung. Die Musterlösung machts eigentlich 1:1 wobei sie die kompelxen Nullstellen anders intepretieren, sie bekommen:

$\begin{eqnarray*} y(x) = Ae^x + Bxe^x + S\cos(x) + T\sin(x) \end{eqnarray*}$

Nun sehe ich gerade nicht, wie sie darauf kommen. Zumindest nicht mathematisch. Mir ist halt die Eulersche Formel durchaus bekannt, aber ich sehe nicht, wie das hier angewendet wurde.

Kann mir das bitte jemand kurz aufzeigen?

04.01.2017, 13:45

HAL 9000

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$\begin{align*} \{e^{ix},e^{-ix}\} \end{align*}$ und $\begin{align*} \{\cos(x),\sin(x)\} \end{align*}$ sind zwei Basen ein- und desselben Unterraums, verknüpft über

$\begin{align*} \begin{pmatrix} e^{ix}\\ e^{-ix}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & i\\ 1 & -i\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} \cos(x)\\ \sin(x)\end{pmatrix} \end{align*}$ .

Die Darstellung mit $\begin{align*} \cos(x),\sin(x) \end{align*}$ hat halt den Vorteil, dass sie mit reellen Koeffizienten auskommt.

04.01.2017, 14:33

balance

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hmm, das ganze ist ja relativ cool. Ich hab gerade einen kleine Fehler gesehen.

Vorallem habe ich das nie wirklich so als Raum betrachtet wie du das hin geschrieben hast. Ich werd noch ein wenig damit rumspielen.

Kannst du mir evtl. ein Beispiel einer derartigen DGL geben die nur eine komplexe aber beliebig viele relle Lösungen für lambda hat?

04.01.2017, 14:37

HAL 9000

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Zitat:

Original von balance
Kannst du mir evtl. ein Beispiel einer derartigen DGL geben die nur eine komplexe aber beliebig viele relle Lösungen für lambda hat?

Bei reellen Koeffizienten der DGL geht das prinzipiell nicht: Denn da tauchen die komplexen $\begin{align*} \lambda \end{align*}$ -Lösungen zwangsläufig in konjugiert komplexen Paaren auf.

04.01.2017, 15:58

balance

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von balance
Kannst du mir evtl. ein Beispiel einer derartigen DGL geben die nur eine komplexe aber beliebig viele relle Lösungen für lambda hat?

Bei reellen Koeffizienten der DGL geht das prinzipiell nicht: Denn da tauchen die komplexen $\begin{align*} \lambda \end{align*}$ -Lösungen zwangsläufig in konjugiert komplexen Paaren auf.

Ja, perfekt - das habe ich erwartet. Konnte es aber nicht zufriedenstellend "zeigen".

Wie dem auch sei: Merci

04.01.2017, 16:04

HAL 9000

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Zitat:

Original von balance
Konnte es aber nicht zufriedenstellend "zeigen".

Ist an sich eine beliebte, relativ einfache Übungsaufgabe: https://www.matheboard.de/thread.php?threadid=574337

04.01.2017, 16:12

balance

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von balance
Konnte es aber nicht zufriedenstellend "zeigen".

Ist an sich eine beliebte, relativ einfache Übungsaufgabe: https://www.matheboard.de/thread.php?threadid=574337

ich werds mir sicher nochmal genau anschauen, danek für den link

04.01.2017, 16:20

HAL 9000

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Der Thread dort ist zwar nicht ganz abgerundet, da der Fragesteller es vorgezogen hatte, nicht wieder aufzutauchen - aber es fehlt nur noch ein winziger Schritt zur Lösung. Augenzwinkern

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