Konvergenz komplexe Folge Betrag

04.01.2017, 16:50

Crudelita97

Konvergenz komplexe Folge Betrag

Meine Frage:
Hi,
Ich soll in einer Aufgabe beweisen dass wenn eine komplexe folge zn=xn+iyn konvergiert auch der betrag von zn konvergiert. (In b) dann auch beweisen, dass es in die andere Richtung auch stimmt.)
Der grenzwert ist dann z=x+iy.

Meine Ideen:
Mein Ansatz ist, dass ich xn und yn als reelle folge betrachte und dann ist der beweis, dass der betrag der reellen folge auch konvergiert ja leicht. (Hatten wir schon einmal.)
Danach sage ich dann, dass die summe der beiden reellen folgen xn und yn also gegen x+y konvergiert.
Wäre das soweit richtig?
Nun weiß ich aber nicht wirklich was ich mit dem i machen soll?? ^^ sage ich einfach dass i gegen i konvergiert?

04.01.2017, 17:04

HAL 9000

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Zitat:

Original von Crudelita97
(In b) dann auch beweisen, dass es in die andere Richtung auch stimmt.

D.h., aus der Existenz von $\begin{align*} \lim_{n\to\infty} |z_n| \end{align*}$ soll folgen, dass auch Grenzwert $\begin{align*} \lim_{n\to\infty} z_n \end{align*}$ existiert??? Sicher nicht. Augenzwinkern

04.01.2017, 17:08

Crudelita

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In b) soll ich beweisen, dass wenn |zn| konvergiert daraus folgt, dass zn konvergiert. ^^

04.01.2017, 17:15

Iorek

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Kann es vielleicht sein, dass in der Aufgabenstellung ein "Beweise oder widerlege" steht?

Und zu deiner Frage: $\begin{align*} i \end{align*}$ ist eine konstante Zahl. Wenn du etwas über die Summe zweier konvergenter Folgen sagen kannst, dann habt ihr auch eine Aussage über das Produkt einer konvergenten Folge mit einer konstanten Zahl gehabt.

04.01.2017, 17:18

Crudelita

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în b) steht, dass ich es beweisen soll falls es stimmt. Und ich denke doch es stimmt oder?
Falls nicht, soll ich es wiederlegen.
Und dass mit dem i ist jetzt klar, stand etwas aufm schlauch. smile

Nun aber immer noch meine Frage, ob mein Ansatz überhaupt richtig ist ? Big Laugh

04.01.2017, 17:28

Iorek

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Das ist aber doch jetzt schon eine vollkommen andere Aussage als "Ich muss das beweisen". Und auf die Frage ob das stimmt, sagt HALs Beitrag schon alles nötige.

Zu i): ich hatte eben deine Frage nicht genau genug gelesen. Was genau zeigst du denn damit? Du sollst eine Aussage über $\begin{align*} |z_n|=|x_n+i\cdot y_n| \end{align*}$ treffen. Hier kommen $\begin{align*} x_n \end{align*}$ und $\begin{align*} y_n \end{align*}$ aber gar nicht einzeln vor (außer du hast den Betrag einfach aufgeteilt, was falsch ist). Damit kommst du hier nicht weiter. Verwende besser die Definition der Folgenkonvergenz und denk dabei an eine der Dreiecksungleichungen.

04.01.2017, 17:38

Crudelita

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Meinst du mit der Dreiecksungleichung nach unten und dem Vergleichssatz?
Diesen beweis hab ich schon einmal mit einer reellen folge gemacht aber war mir nicht sicher ob ich dass einfach auch mit der komplexen folge machen darf..
also wäre dann ||zn|-|z|| kleiner gleich |zn-z| und daraus folgt dann dass |zn|-|z| kleiner gleich zn-z ist.
und da zn-z mit lim n gegen unendlich gegen 0 strebt, strebt auch |zn|-|z| gegen 0?

04.01.2017, 18:07

Iorek

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Zitat:

Original von Crudelita
Meinst du mit der Dreiecksungleichung nach unten und dem Vergleichssatz?
Diesen beweis hab ich schon einmal mit einer reellen folge gemacht aber war mir nicht sicher ob ich dass einfach auch mit der komplexen folge machen darf..
also wäre dann ||zn|-|z|| kleiner gleich |zn-z|

Bis hier hin stimmt alles, dass das jetzt aber kleiner als $\begin{align*} z_n-z \end{align*}$ sein soll, müsstest du mir erklären. Bei $\begin{align*} z_n-z \end{align*}$ handelt es sich im Allgemeinen um eine komplexe Zahl, bei komplexen Zahlen kann man überhaupt keine Aussage über größer/kleiner machen. Aber ja, du kannst jetzt ausnutzen, dass $\begin{align*} z_n-z \end{align*}$ eine Nullfolge ist, also findet man zu $\begin{align*} \varepsilon>0 \end{align*}$ ...

04.01.2017, 18:21

Crudelita

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|zn-z|<Epsilon <=> ||zn-z||<Epsilon?
Weil Epsilon ja als >0 definiert wurde.

04.01.2017, 18:59

Iorek

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Was willst du damit denn jetzt aussagen? Was soll der doppelte Betrag bringen? Und was hat das mit deiner Zielsetzung zu tun?

Behauptung: Sei $\begin{align*} (z_n)_{n\in\mathbb N} \end{align*}$ eine komplexe Folge und $\begin{align*} z\in\mathbb C \end{align*}$ . Dann folgt aus $\begin{align*} \lim\limits_{n\to\infty}z_n=z \end{align*}$ : $\begin{align*} \lim\limits_{n\to\infty}|z_n|=|z| \end{align*}$ .

Das wollen wir zeigen, ich empfehle das mit Hilfe der Definition zu machen. Also müssen wir für alle $\begin{align*} \varepsilon>0 \end{align*}$ ein $\begin{align*} N\in\mathbb N \end{align*}$ finden, sodass für alle $\begin{align*} n\geq N \end{align*}$ gilt: $\begin{align*} ||z_n|-|z||<\varepsilon \end{align*}$ .

Nun weißt du, dass nach Voraussetzung $\begin{align*} \lim\limits_{n\to\infty}z_n=z \end{align*}$ ist, also existiert zu $\begin{align*} \varepsilon>0 \end{align*}$ ein $\begin{align*} N\in\mathbb N \end{align*}$ finden, sodass für alle $\begin{align*} n\geq N \end{align*}$ gilt: $\begin{align*} |z_n-z|<\varepsilon \end{align*}$ .

Mit Hilfe der Dreiecksungleichung hast du noch eine andere Abschätzung gezeigt, das musst du jetzt nur noch sauber aufschreiben und zusammensetzen.

04.01.2017, 19:18

Crudelita

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Okay alles klar, jetzt hab ich es verstanden. smile

Also wie ich das sehe, gilt die Rückrichtung nicht?

04.01.2017, 19:22

Iorek

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Du kannst dich gerne an einem Beweis für die Rückrichtung versuchen. Ich würde aber die Suche nach einem Gegenbeispiel empfehlen.

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