Obere Schranke/Supremum

04.01.2017, 20:24

Einstein1879

Obere Schranke/Supremum

Guten Abend,

in meinem Analysis Skript hat unser Prof. folgendes Beispiel zum oberen Thema angegeben:

Die Menge

$\begin{eqnarray*} A:=\left\{\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5}...\right\}=\left\{\frac{n}{n+1};n \in \mathbb N \right\} \end{eqnarray*}$

ist von oben beschränkt, da für jedes Element a von A gilt: a<1
Die Zahl 1 ist sogar die kleinste obere Schranke.

Beweis:

Wir verifizieren, dass eine Zahl $\begin{eqnarray*} s<1 \end{eqnarray*}$ keine obere Schranke für A sein kann. Dann wäre nämlich $\begin{eqnarray*} 1-s>0 \end{eqnarray*}$ und nach dem Archimedischen Prinzip können wir eine Zahl n finden mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n}<1-s \end{eqnarray*}$ . Dann ist aber $\begin{eqnarray*} s<1-\frac{1}{n}=\frac{n-1}{n} \in A \end{eqnarray*}$ , d.h. s ist keine obere Schranke von A.

Bei diesem Beweis blicke ich nicht so richtig durch, anhand der Rechenvorschrift erkennt man, dass egal welche natürliche Zahl eingesetzt wird das Resultat immer kleiner als 1 ist. Damit ist die Menge nach oben hin beschränkt. Aber wie man dann mithilfe des Archimedischen Axioms beweist, dass die Zahl 1 auch die kleinste obere Schranke ist das wird mir aus dem oben genannten Beweis noch nicht klar.

04.01.2017, 20:36

Iorek

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Kannst du etwas genauer sagen, was dir nicht klar ist? Der Beweis ist schon recht ausführlich, an welchem Schritt hängst du?

04.01.2017, 21:05

Einstein1879

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Ich habe Schwierigkeiten das Archimedische Axiom auf die Aufgabe bzw. den Beweis angewendet zu verstehen.

04.01.2017, 21:11

Iorek

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RE: obere Schranke/Supremum
Dann klären wir doch erst einmal die Begriffe und Aussagen: Was besagt denn das archimedische Axiom? Und welche Folgerung lässt sich mit Hilfe des archimedischen Axioms machen (die man immer wieder benötigt)?

Anschließend:

Zitat:

Original von Einstein1879
$\begin{eqnarray*} 1-s>0 \end{eqnarray*}$ und nach dem Archimedischen Prinzip können wir eine Zahl n finden mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n}<1-s \end{eqnarray*}$ .

Erkennst du hier die Anwendung?

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