Relation x ~ y: <=> x-y

04.01.2017, 22:34

Cany

Relation x ~ y: <=> x-y

Meine Frage:
Guten Tag, ich steh grade etwas auf dem Schlauch.
Gegeben ist die Relation x~y:<=> x - y sei ungerade.
Ich soll bestimmen ob sie reflexiv, transitiv und symmetrisc ist. Wobei

Danke im Vorraus

Meine Ideen:
reflexiv ja relativ einfach ist:

x ~ x -> x - x ungerade ist falsch da x - x immer null, nur bei symmetrie und transitivität steh ich aufm schlauch.

05.01.2017, 05:32

Guguff

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Was ist denn für die Symmetrie und Transitivität zu zeigen?

05.01.2017, 11:55

Cany 2.0

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Idee
Naja ob wahr oder falsch.
habe es jetzt folgendermaßen Begründet:

reflexiv:
x~x -> x-x ungerade | immer 0 und 0 ist gerade -> Falsch

symmetrisch:
x~y -> y~x
x-y ungerade -> y-x ungerade

|x-y| = |2k+1| -> y= |-(2k+1-x)|
|y-x| = |2k+1| -> y= |(2k+1+x)| qed.

transitiv:
x~y und y~z -> x~z

x-y = 2k+1 -> y=-(2k+1-x)
y-z = 2m+1 y von oben einsetzen

-> -2k-1+x-z = 2m+1
-> x-z = 2m+2k+2 <- immer gerade also falsch

Ergebnis: Diese Relation ist nicht Reflexiv, nicht transitiv aber symmetrisch.

Irgenwelche einwände?

05.01.2017, 12:48

Leopold

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Der Beweis der Symmetrie stimmt nicht. Was die Beträge da sollen und wie du mit ihnen rechnest, ist nicht nachvollziebar. Die Sache ist auch viel einfacher.

Ist $\begin{align*} x-y \end{align*}$ ungerade, so auch $\begin{align*} y-x = (-1) \cdot (x-y) \end{align*}$ , denn die Multiplikation mit $\begin{align*} -1 \end{align*}$ ändert nichts an der Geradheit oder Ungeradheit einer Zahl.

Der Beweis für die Nichttransitivität scheint mir zu stimmen. Aber auch da gehst du viel zu umständlich vor. Um eine Allaussage zu widerlegen, genügt 1 (!!!) Gegenbeispiel, etwa

$\begin{align*} 2 \sim 1 \end{align*}$ , denn $\begin{align*} 2-1 = 1 \end{align*}$ ist ungerade.

$\begin{align*} 1 \sim 0 \end{align*}$ , denn $\begin{align*} 1-0 = 1 \end{align*}$ ist ungerade.

Jedoch ist $\begin{align*} 2 \sim 0 \end{align*}$ falsch, denn $\begin{align*} 2-0 = 2 \end{align*}$ ist gerade.

Bitte garniere deine Rechnungen mit mehr Text, damit immer klar ist, ob du jetzt schon im Beweis bist oder erst einmal nur eine Behauptung aufgestellt hast.

05.01.2017, 12:54

Cany

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Aah natürlich...
manchmal denke ich ich bin einfach doof Big Laugh