Grenzwert bestimmen

04.01.2017, 23:15

zinR

Grenzwert bestimmen

Hi,

ich möchte zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \to 1} (x-1)^{\ln (x)} = 1 \end{eqnarray*}$ gilt, und würde das gerne über diese Definition machen:

$\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 \forall x \in \mathbb{R}, x >1 : (\vert x-1 \vert < \delta \Rightarrow \vert f(x) - 1 \vert < \varepsilon ) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} f(x) := (x-1)^{\ln x} \end{eqnarray*}$ .

Um ein passendes $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ zu finden, muss ich ja $\begin{eqnarray*} \vert (x-1)^{\ln x} -1 \vert \end{eqnarray*}$ nach oben abschätzen.
Was ist die sinnvollste Möglichkeit, dies zu tun, falls es eine gibt?

LG

05.01.2017, 09:17

klarsoweit

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RE: Grenzwert bestimmen

Zitat:

Original von zinR
ich möchte zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \to 1} (x-1)^{\ln (x)} = 1 \end{eqnarray*}$ gilt

Vermutlich eher: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \sea 1} (x-1)^{\ln (x)} = 1 \end{eqnarray*}$

Ich befürchte aber, daß du mit deinem Ansatz mit der Grenzwertdefinition nicht glücklich werden wirst.

Nach der Umformung $\begin{eqnarray*} (x-1)^{\ln (x)} = exp(ln(x) \cdot ln(x-1)) \end{eqnarray*}$ würde ich nur $\begin{eqnarray*} ln(x) \cdot ln(x-1) \end{eqnarray*}$ betrachten und den l'Hospital anwenden. smile

05.01.2017, 15:08

zinR

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Ah, alles klar. Danke!

Bis jetzt haben wir weder den Satz von de l'Hospital, noch die Konvergenz für $\begin{eqnarray*} x \searrow x_0 \end{eqnarray*}$ in der Vorlesung besprochen. Die Aufgabe stammt von einem Freund aus dem Maschinenbaustudium, und ich dachte, es wäre eine nette Übungsaufgabe Spam

Gehört das Thema nicht eigentlich in die Analysis 1 Vorlesung?

05.01.2017, 15:13

klarsoweit

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Zitat:

Original von zinR
Gehört das Thema nicht eigentlich in die Analysis 1 Vorlesung?

Prinzipiell ja, deswegen paßt es ja auch hierhin. Augenzwinkern

05.01.2017, 15:14

Leopold

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Außer in einfachen Übungsaufgaben dient die $\begin{align*} \varepsilon \delta \end{align*}$ -Definition nur zum Verständnis des Grenzwertbegriffs. Man kann mit der Definition dann weitere Regeln für Grenzwerte beweisen. Und mit diesen weitere und weitere ...
Und mit den neuen Regeln bestimmt man dann Grenzwerte. Keineswegs geht man immer wieder zur Ausgangsdefinition zurück.

05.01.2017, 16:17

HAL 9000

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Zitat:

Original von zinR
Bis jetzt haben wir weder den Satz von de l'Hospital, noch die Konvergenz für $\begin{eqnarray*} x \searrow x_0 \end{eqnarray*}$ in der Vorlesung besprochen.

Ist dir wenigstens bewusst, warum klarsoweit $\begin{align*} x\to 1 \end{align*}$ in $\begin{align*} x\searrow 1 \end{align*}$ geändert hat? Weil der Term $\begin{align*} (x-1)^{\ln(x)} \end{align*}$ für die meisten $\begin{align*} x\in (0,1) \end{align*}$ gar nicht im reellen definiert ist, wegen negativer Basis und nichtganzzahligem Exponent!

05.01.2017, 22:46

zinR

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ist dir wenigstens bewusst, warum klarsoweit $\begin{align*} x\to 1 \end{align*}$ in $\begin{align*} x\searrow 1 \end{align*}$ geändert hat?

Ja, Danke, das war mir bewusst (ich kannte nur bis dahin die Notation nicht). - Ich bin übrigens der, dem Du gestern das Cauchy-Produkt für die ersten Summanden erläutert hast smile

Danke nochmal für eure Hilfsbereitschaft!

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