Matrixdarstellung bezüglich zweier Basen

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Kullimes Auf diesen Beitrag antworten »
Matrixdarstellung bezüglich zweier Basen
Hallo zusammen,

folgende Aufgabe:

Sei und sowie die Basis von E. Weiterhin ist die lineare Abbildung gegeben, mit und . Ich soll nun die Matrixdarstellung von f bezüglich der Standardbasis des und der Basis von E angeben.
Zunächst benötige ich die Bilder der Basisvektoren, die hier schon gegeben sind. Anschließend stelle ich diese Bilder als Linearkombination der Standardvektoren des dar und erhalte durch die Spaltenvektoren meine gesuchte Abbildungsmatrix. Nunja, die beiden Bilder als Lin.komb. der Standardbasen darzustellen ist nicht weiter schwer und führt mich zur Matrix . Aber hier fehlt doch eine dritte Zeile, oder? Denn das Bild muss ja wieder ein dreidim. Vektor sein, wenn ich allerdings v und w mit meiner gefundenen Matrix multipliziere, kommt ein zweidim. Vektor raus, der zudem nicht mit dem vorgegebenen Bild der beiden Basen übereinstimmt.
Kann mir jemand sagen, wo mein - ich denke mal ziemlich dämlicher - (Denk-)Fehler liegt?

Gruß
Kullimes
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

In den SPALTEN der Matrix stehen die Bilder der Basisvektoren, nicht in den ZEILEN.
Kullimes Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt. Aber wenn ich diese Matrix transponiere, um das gewünschte zu erhalten, fehlt eine Spalte, um die Matrix mit einem dreidim. Vektor multiplizieren zu können?!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Es fehlt nichts , denn in der Basis {v,w} von E ist v=1v+0w=(1,0), w=0v+1w=(0,1). Das passt gut dazu, dass E ein 2-dimensionaler UVR von R³ ist.

Vektoren haben keine Dimension, jeder Vektorraum hat eine Dimension. Lehrer
Kullimes Auf diesen Beitrag antworten »

Dass sich die Basis so berechnet, wie Du es aufgeführt hast, muss wegen der linearen Unabhängigkeit doch ohnehin so sein, oder? Mein Problem liegt beim Finden der korrekten Darstellungsmatrix. Oder ich missverstehe etwas. Im Anhang habe ich kurz skizziert, worum es geht.
[attach]43505[/attach]
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht ABER, sondern und

Grund: Die Basis von E ist in der Basis von E die Standardbasis, dass die Basis von E auch noch aus Vektoren des R³ besteht, ist dabei egal.
 
 
Kullimes Auf diesen Beitrag antworten »

Verstanden! Vielen Dank.
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