Umwandlung Exponentialform in kartesische Form

05.01.2017, 12:49

Cari4

Umwandlung Exponentialform in kartesische Form

Meine Frage:
Folgende Aufgabe: in welchem Quadranten der komplexen Ebene besitzt die Gleichung z^3 + 1-i =0 keine Lösung?

Meine Ideen:
Umwandlung der komplexen Zahl i-1 in exponentialform:
$\begin{eqnarray*} Z^{3} + e^{\frac{7\pi i}{4} }= 0 \end{eqnarray*}$
Unformen:
$\begin{eqnarray*} \sqrt[6]{2} \times e^{\frac{7\pi i}{4} \times \frac{1}{3} + \frac{2\pi k}{3} } \end{eqnarray*}$

Damit gilt:
$\begin{eqnarray*} <br /> Z_{0} =\sqrt[6]{2} \times e^{\frac{7\pi i}{4} \times \frac{1}{3} }<br /> Z_{1} = \sqrt[6]{2} \times e^{\frac{7\pi i}{4} \times \frac{1}{3} + \frac{2\pi 1}{3} } \end{eqnarray*}$
Dann wären die Winkel:
Für Z0: $\begin{eqnarray*} \alpha = \frac{7\pi }{12} = 105 ° \end{eqnarray*}$
Wie kommt man dann auf den Winkel von z1 ? Und die Lösung mit 105 stimmt scheinbar nicht so ist mein Fehler?

05.01.2017, 13:03

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Umwandlung Exponentialform in kartesische Form
Willkommen im Matheboard!

Diese Aufgabe kann man eigentlich im Kopf lösen. Fangen wir mal von vorn an:

Wir brauchen also Betrag und Winkel von i-1. Stell Dir die komplexe Ebene vor. Und nun einen Zeiger mit den Koordinaten (-1|1). Wie lang ist der? Wo zeigt der hin?

Viele Grüße
Steffen

05.01.2017, 13:57

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Umwandlung Exponentialform in kartesische Form
Das Problem liegt offensichtlich an dieser Stelle:

Zitat:

Original von Cari4
Umwandlung der komplexen Zahl i-1 in exponentialform:
$\begin{eqnarray*} Z^{3} + e^{\frac{7\pi i}{4} }= 0 \end{eqnarray*}$

Hier wurde mit $\begin{eqnarray*} e^{\frac{7\pi i}{4}} \end{eqnarray*}$ nicht -1+i, sondern 1-i in Exponentialform umgewandelt, wobei noch vornedran der Betragsfaktor fehlt. smile

05.01.2017, 13:57

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Wir brauchen also Betrag und Winkel von i-1.

Was die Fragestellung hier betrifft, eigentlich sogar nur den Winkel. Augenzwinkern

Neue Frage »

Antworten »

Umwandlung Exponentialform in kartesische Form

Verwandte Themen