Surjektivitätsbeweis

05.01.2017, 15:11

balance

Surjektivitätsbeweis

Hallo,

ich hoffe der Titel passt...

seien $\begin{eqnarray*} A,B:\mathbb R^n \to \mathbb R^m \end{eqnarray*}$ lineare Abbildungen. Beweise

$\begin{eqnarray*} m>n \Rightarrow det(AB^T)=0 \end{eqnarray*}$

Ich würde gerne wissen, ob ich das wie folgt machen kann - da ich leider keine Lösung habe.

Bew:
Aus der Voraussetzung sehen wir, dass A,B zwei $\begin{eqnarray*} m\times n \end{eqnarray*}$ Matrizen sind.
Wir wissen, dass eine Abb für $\begin{eqnarray*} m>n \end{eqnarray*}$ surjektiv ist.

Frage 1: Diese Surjektivitätsbedingung haben wir vor langer Zeit mal gezeigt. Ich war mir aber nicht sicher, ob ich das jetzt benutzten darf, oder ob das eher Teil dessen ist, was ich zeigen möchte.

Weiter ist klar, dass $\begin{eqnarray*} AB^T \end{eqnarray*}$ aufgrund der Linearität von A, B auch eine lineare Abbildung ist. Nun:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow AB^T \end{eqnarray*}$ ist surj. da m > n, aber nicht inj.
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow AB^T \end{eqnarray*}$ ist somit nicht bijektiv
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow AB^T \end{eqnarray*}$ ist nicht invertierbar
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow det(AB^T)=0 \end{eqnarray*}$

qed

Würde das so klappen?

05.01.2017, 15:34

HAL 9000

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Zitat:

Original von balance
Wir wissen, dass eine Abb für $\begin{eqnarray*} m>n \end{eqnarray*}$ surjektiv ist.

Unsinn. Eine lineare Abbildung $\begin{align*} A:\;\mathbb R^n \to \mathbb R^m \end{align*}$ ist im Fall $\begin{align*} m>n \end{align*}$ sogar garantiert nicht surjektiv! Tatsächlich ist $\begin{align*} \dim(A(\mathbb{R}^n)) \leq \dim(\mathbb{R}^n) = n \end{align*}$ .

05.01.2017, 18:43

balance

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von balance
Wir wissen, dass eine Abb für $\begin{eqnarray*} m>n \end{eqnarray*}$ surjektiv ist.

huch, stimmt! o.O Aber: Daraus folgt trotzdem dass die Abb. nicht bij. ist und daraus der Rest. Daher: Klapt der Beweis so? Falls nicht: wieso?

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