Stetigkeit zeigen, mit Epsilon-Delta-Kriterium

06.01.2017, 11:08

Lisulia20

Stetigkeit zeigen, mit Epsilon-Delta-Kriterium

Meine Frage:
Ich soll die Stetigkeit der Funktion 1/x^2 zeigen.

Meine Ideen:
Ich habe mich jetzt so vorgearbeitet, dass am Ende rauskommt

$\begin{eqnarray*} |\frac{Delta*(x+P)}{x^2*P^2} | \end{eqnarray*}$

06.01.2017, 11:11

klarsoweit

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RE: Stetigkeit zeigen, mit Epsilon-Delta-Kriterium
Mußt du das unbedingt mit der Epsilon-delta-Definition machen oder darfst du auch Stetigkeitssätze anwenden?

06.01.2017, 11:28

Lilalu20

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RE: Stetigkeit zeigen, mit Epsilon-Delta-Kriterium
Ich muss es mit dem Kriterium machen.

06.01.2017, 11:44

Shalec

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Für das $\begin{eqnarray*} \epsilon-\delta \end{eqnarray*}$ -Kriterium nutzt man ja die Definition von Stetigkeit:

$\begin{eqnarray*} f:\ I\to\mathbb K \end{eqnarray*}$ ist stetig in $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} \forall\ \epsilon>0\ \exists\ \delta>0 \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} \forall y\in I \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |x-y|<\delta \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)|<\epsilon \end{eqnarray*}$ .

Also starte einfach mit:
$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)| = \left|\frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2}\right| = \left| \frac{y^2-x^2}{x^2y^2} \right|=\left| \frac{(x-y)(x+y)}{x^2y^2} \right| < \left| \frac{\delta(x+y)}{x^2y^2} \right| \end{eqnarray*}$

Dieses Ergebnis hast du bereits selber herausgefunden. Nun gibt es noch ein paar Probleme. Es stört zunächst das (x+y) im Zähler.

$\begin{eqnarray*} |x+y| = |x-y +2y| \leq |x-y| + |2y|<\delta + |2y| \end{eqnarray*}$ als Hinweis für die Tricks, an die du nun denken solltest. Denke darüber nach, welche Ausdrücke du bereits für $\begin{eqnarray*} x^2, y^2, (x+y), x^2y^2,... \end{eqnarray*}$ in irgendeiner Form bereits gesehen hast und versuche einen Nährwert für diese Aufgabe daraus zu gewinnen.

@klarsoweit, wenn du einen zielführenderen Tipp für den TA hast, immer gerne smile

Edit: Wenn man nach diesem Beweis googelt, wird häufig diese Umformung gemacht: $\begin{eqnarray*} \delta\left|\frac{x+y}{x^2y2}\right| \leq \delta | x+y | \end{eqnarray*}$ . Allerdings ist dies nicht ausschließlich erfüllt. Im Grunde muss dafür gewährleistet sein, dass stets $\begin{eqnarray*} |x^2y^2|\geq 1 \end{eqnarray*}$ .

Edit2: Hast du ein Intervall I vorgegeben bekommen? Ist dein Abbildungskörper $\begin{eqnarray*} \mathbb K=\mathbb R \end{eqnarray*}$ ?

Ich habe für dich noch einen Tipp, aber dafür muss I entsprechend vordefiniert sein.

Kurzer Anhang:
Für Personen, die das hier lesen und sich über die Stetigkeit Gedanken machen und deren Aussage nicht verstehen, bietet diese Seite eine gute einführende Erklärung:
Mathe für nicht-freaks

06.01.2017, 11:58

Lilalu20

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Das mit dem Zähler habe ich verstanden, nur mein Problem ist, wie bekomme ich den Nenner anders hin, sodass ich Delta in Abhängigkeit von y bekomme?

06.01.2017, 12:12

Shalec

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Zitat:

Original von Lilalu20
Das mit dem Zähler habe ich verstanden, nur mein Problem ist, wie bekomme ich den Nenner anders hin, sodass ich Delta in Abhängigkeit von y bekomme?

Ist dir die Menge $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ definiert worden?

Falls $\begin{eqnarray*} I=(0,\infty)\cap \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt, dann lässt sich folgender Trick nutzen:
Falls $\begin{eqnarray*} y<x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |x-y| = x-y < \delta\ \Leftrightarrow\ x<\delta + y \end{eqnarray*}$

falls $\begin{eqnarray*} x<y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |x-y|=|y-x| = y-x\ \Rightarrow y-x < \delta \Leftrightarrow\ y < \delta + x \end{eqnarray*}$

(Nur als Hinweise für Umformungen. Wichtig, bedenke bitte bei deinen eigenen Rechnungen, dass: Je größer der Nenner, umso kleiner der Bruch, und du willst den Bruch größer machen Augenzwinkern

)

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