Dimension und Basissystem bestimmen

06.01.2017, 17:02	kaiuwe98	Auf diesen Beitrag antworten »
Dimension und Basissystem bestimmen Meine Frage: Hallo, ich muss folgende Aufgabe lösen: Im realen Vektorraum $\begin{eqnarray} V = \mathbb R ^{4} <br /> \end{eqnarray}$ sind die Vektoren: $\begin{eqnarray} <br /> \vec{a_{1} } = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix},<br /> \vec{a_{2} } = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix},<br /> \vec{a_{3} } = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix},<br /> \vec{a_{4} } = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix},<br /> \vec{a_{5} } = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ gegeben. Bestimmen Sie die Dimension und zwei verschieden Basissysteme von span [a1,a2,a3,a4,a5] Meine Ideen: So also zunächst zu den Definitionen. Ein Basissystem ist eine Menge von Vektoren, die alle voneinander linear unabhängig sind und mit denen sich jeder Vektor aus dem entsprechenden Vektorraum erzeugen lässt. Und die Dimension ist die Anzahl solcher Vektoren. Bei R^4 müsste doch logischer weise die Dimension immer 4 sein oder? Man braucht ja 4 Vektoren -> für jede "Zeile" einen. Wie Bestimmt man aber das Basissystem? Auf den ersten Blick springt mir in die Augen, dass wenn man a4 weglassen würde, man immer noch jeden Vektor erzeugen könnte. Wäre das also ein solches Basissystem? Ich wäre sehr dankbar für Hilfe.
06.01.2017, 18:11	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Untervektorraum von $\begin{eqnarray} \mathbb R^4 \end{eqnarray}$ hat die Dimension höchstens 4. Die Dimension ist der Rang der Matrix, die man aus den gegebenen 5 Vektoren bildet. Den Rang berechnet man mit dem Gauß-Algorithmus. Danach sucht man sich passend viele linear unabhängige Vektoren aus, die bilden eine Basis des Untervektorraums.

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