Zeigen das exp^x= lim (1+x/n)^n

06.01.2017, 17:25

Merter

Zeigen das exp^x= lim (1+x/n)^n

Meine Frage:
Hallo Liebe mathe freunde wie löse ich diese Aufgabe ?
Da exp und ln stetig sind kann ich ja lim reinziehen aber was hilft mir das genau?

Meine Ideen:
Lim reinziehen..

06.01.2017, 17:27

Merter

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RE: Zeigen das exp^x= lim (1+x/n)^n
Die Aufgabe:

06.01.2017, 17:35

005

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RE: Zeigen das exp^x= lim (1+x/n)^n
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n=e^x\quad\Longleftrightarrow\quad\lim_{n\to\infty}n\ln\left(1+\frac{x}{n}\right)=x \end{eqnarray*}$

Ueberlege Dir mit dem Hinweis zur Stetigkeit von exp und ln, dass das stimmt. Verifiziere dann die rechte Formel. Das geht einfacher.

06.01.2017, 17:45

Merter

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RE: Zeigen das exp^x= lim (1+x/n)^n
Ich könnte ja die n reinmultiplizieren dann würde ja stehen
lim ln( (1+x/n)^n ) = x
Und jetzt lim rein in die Funktion ist das der richtige Ansatz?

06.01.2017, 18:01

005

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RE: Zeigen das exp^x= lim (1+x/n)^n
Das waere dann die Folgerung der linken Formel aus der rechten. (Was ja fuer die Aufgabe schon ausreicht.) Fuehre es doch mal komplett aus.

06.01.2017, 18:12

Merter

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RE: Zeigen das exp^x= lim (1+x/n)^n
Meinst du etwa so :

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } ln( (1+\frac{x}{n})^{n} ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln( \lim_{n \to \infty } (1+\frac{x}{n})^{n} ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln( (\lim_{n \to \infty } 1+ \lim_{n \to \infty } x \frac{x}{n})^{n} ) \end{eqnarray*}$

Da würde ja dann aber ln (1^n) raus kommen was ja nicht gleich x ist :/

06.01.2017, 18:29

005

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RE: Zeigen das exp^x= lim (1+x/n)^n
Die zweite Zeile ist ok, aber die dritte zum Haareausraufen. Man koennte meinen, Du arbeitest heute zum ersten Mal mit Grenzwerten.

Was haelst Du davon, die rechte Seite nicht einfach zu tilgen, und dann auf die zweite Zeile exp anzuwenden?

06.01.2017, 18:37

Merter

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RE: Zeigen das exp^x= lim (1+x/n)^n
achsoo ich weiß was du meinst Big Laugh

$\begin{eqnarray*} ln ( \lim_{n \to \infty } ( 1+\frac{x}{n} )^{n}) = ln (e ^{x}) \end{eqnarray*}$

und das ist gleich x.

Aber darf man annehmen das $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (1+\frac{x}{n})^{n} =e^{x} \end{eqnarray*}$

weil das ist ja zu zeigen verwirrt

06.01.2017, 18:50

005

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RE: Zeigen das exp^x= lim (1+x/n)^n
So sieht es schon viel besser aus.

Zeigen sollst Du: Wenn die linke Formel stimmt, dann auch die rechte (und umgekehrt). Natuerlich ist beim Schluss von links nach rechts anzunehmen, dass die linke Formel stimmt. Sonst waere ja nichts zu zeigen.

Als Anfang sollst Du nicht zeigen, dass beide Formeln stimmen, Du sollst nur zeigen, dass sie aequivalent sind!

06.01.2017, 18:53

Merter

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RE: Zeigen das exp^x= lim (1+x/n)^n
achso Ich glaube ich verstehe was du meinst. Wir haben gezeigt das die Linke seite gleich die Rechte ist..

Aber müssen wir jetzt auch nicht zeigen das die Rechte seite gleich der Linken ist ? verwirrt

06.01.2017, 19:41

005

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RE: Zeigen das exp^x= lim (1+x/n)^n
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n=e^x\quad\Longrightarrow\quad\lim_{n\to\infty}n\ln\left(1+\frac{x}{n}\right)=x \end{eqnarray*}$

Das ist bis jetzt gezeigt (wobei Du es schon noch mal anstaendig und am Stueck aufschreiben koenntest).

Fuer die Aufgabe wird die andere Richtung benoetigt. Die geht allerdings voellig analog.

06.01.2017, 19:54

Merter

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RE: Zeigen das exp^x= lim (1+x/n)^n
Das verwirrt mich etwas

Also ich zeige erstmal das $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (1+\frac{x}{n})^{n} = e^{x} \end{eqnarray*}$

ist. Dies wird gezeigt indem ich beide seiten * ln nehme dann ergibt sich

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } n* ln((1+\frac{x}{n}) ) =x \end{eqnarray*}$

Wenn wir nun n reinmultiplizieren ergibt sich wegen ln-Gesetze

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } ln((1+\frac{x}{n})^{n} ) \end{eqnarray*}$

Da ln eine Stetige Funktion ist können wir den lim reinnehmen also

$\begin{eqnarray*} ln(\lim_{n \to \infty }(1+\frac{x}{n})^{n} ) \end{eqnarray*}$

Das wird zu

$\begin{eqnarray*} ln( e^{x} ) =x \end{eqnarray*}$ also stimmt es da x rauskommt also jetzt muss ich ja zeigen das

$\begin{eqnarray*} e^{x} = \lim_{n \to \infty } (1+\frac{x}{n})^{n} \end{eqnarray*}$

Ich verstehe irgendwas falsch :/

06.01.2017, 20:13

005

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RE: Zeigen das exp^x= lim (1+x/n)^n

Zitat:

Original von Merter

Also ich zeige erstmal das $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (1+\frac{x}{n})^{n} = e^{x} \end{eqnarray*}$

ist.

NEIN!!!

Das zeigst Du nicht. Du sollst bloss zeigen, dass diese Formel aequivalent zu der zweiten ist. Wenn Du das hast, zeigst Du stattdessen die Richtigkeit der zweiten Formel. Die ist technisch einfacher zu behandeln. Das ist der ganze Sinn dieses Vorgeplaenkels (und des Hinweises vom Aufgabensteller).

06.01.2017, 20:24

Merter

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RE: Zeigen das exp^x= lim (1+x/n)^n
Also ich glaube ich verstehe was du meinst.

Ok also haben wir schonmal die Richtung $\begin{eqnarray*} (\Rightarrow ) \end{eqnarray*}$

gezeigt. Nun müssen wir die Richtung ( $\begin{eqnarray*} (\Leftarrow ) \end{eqnarray*}$ ) zeigen.

und wie zeige ich diese ?

und nachdem ich es gezeigt habe muss ich die Formel

06.01.2017, 20:45

Merter

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RE: Zeigen das exp^x= lim (1+x/n)^n
$\begin{eqnarray*} (\Leftarrow ) ln(\lim_{n \to \infty } (1+\frac{x}{n} )^{n} = x \end{eqnarray*}$

darauf exp angewendet kommt die Linke Formel also rechte seite gezeigt oder ?

Und wie zeige ich nun das die Formel stimmt was ja die Hauptaufgabe ist..

06.01.2017, 20:55

005

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RE: Zeigen das exp^x= lim (1+x/n)^n

Zitat:

Original von Merter
Nun müssen wir die Richtung ( $\begin{eqnarray*} (\Leftarrow ) \end{eqnarray*}$ ) zeigen.

und wie zeige ich diese ?

Auf die rechte Formel exp anwenden, dann Limes und exp vertauschen (Stetigkeit!) und ausrechnen. Ergebnis ist die linke Formel. Ich hatte gehofft, das waere jetzt klar.

Es verbleibt,

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}n\ln\left(1+\frac{x}{n}\right)=x \end{eqnarray*}$

wirklich zu beweisen. Dazu gibt es diverse Moeglichkeiten. Wenn Dir keine einfaellt, musst Du sagen, was Du ueber exp und ln weisst.

06.01.2017, 21:03

Merter

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RE: Zeigen das exp^x= lim (1+x/n)^n
ist das was ich gesagt habe falsch ?

Naja ln und exp sind Stetige Funktionen. ln ist die Inverse von exp. Und ja weiter weiß ich nicht verwirrt

06.01.2017, 21:49

005

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RE: Zeigen das exp^x= lim (1+x/n)^n
Nicht direkt (wobei ich es noch nicht gelesen hatte). Man merkt aber, dass Du immer an einer Regel stur dranhaengst: Limes reinziehen. Es funktioniert auch umgekehrt: Limes rausziehen.

Eine bessere Merkregel lautet: Bei Stetigkeit darf man Funktionsauswertung und Grenzwertbildung vertauschen.

06.01.2017, 21:59

Merter

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RE: Zeigen das exp^x= lim (1+x/n)^n
Ok wie kann ich denn jetzt beweisen das die Formel stimmt

06.01.2017, 22:06

005

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RE: Zeigen das exp^x= lim (1+x/n)^n
Hab ich Dir ja gesagt. Wenn Dir nichts selber einfaellt: Zaehle auf, was Du zu exp und ln verwenden kannst. Abschaetzungen, bekannte Grenzwerte, Ableitungen, etc.

06.01.2017, 22:16

Merter

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RE: Zeigen das exp^x= lim (1+x/n)^n
Ich weiß das ln und exp stetige FUnktionen sind.

Ich weiß das die Ableitung von exp wieder exp ist und das die Ableitung von ln 1/x ist.

06.01.2017, 22:46

005

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RE: Zeigen das exp^x= lim (1+x/n)^n
$\begin{eqnarray*} n\ln(1+x/n)=x\cdot\frac{\ln(1+x/n)-\ln1}{x/n}\qquad(x\ne0) \end{eqnarray*}$

Bringe das in Zusammenhang mit der Ableitung des ln, dann hast Du's.

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