Primfaktorzerlegung in C[t]

06.01.2017, 17:47	Biene11	Auf diesen Beitrag antworten »
Primfaktorzerlegung in C[t] Meine Frage: Guten Abend zusammen! Ich habe grade Probleme mit der Aufgabe im Anhang, ich habe bereits gezeigt das das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ mit dem in der Aufgabe gegeben Polynom übereinstimmt. Jedoch verstehe ich jetzt nicht ganz wie die Primfaktorzerlegung von dem Polynom über $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ aussehen soll. Meine Ideen: Ich dachte erst, da wir uns ja jetzt quasi in dem Fall $\begin{eqnarray} \alpha \in \mathbb C \end{eqnarray}$ befinden , ist das Min.pol. doch einfach dasselbe wie das aus der Aufgabenstellung nur mit dem Teil wo $\begin{eqnarray} \alpha \notin \mathbb R \end{eqnarray}$ , sprich $\begin{eqnarray} t^{2} - 2xt +x^{2} +y^{2} = (t-x)^{2} +y^{2} \end{eqnarray}$ , da diese doch irreduzibel über $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ sind oder ist das falsch? Würde mich über jegliche Tipps und Denkanstöße freuen! Gruß Biene
06.01.2017, 18:04	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein quadratisches Polynom sollte über $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ in 2 lineare Faktoren zerfallen.
07.01.2017, 10:57	Biene11	Auf diesen Beitrag antworten »
Das wollte ich ja mit $\begin{eqnarray} t^{2} - 2xt +x^{2} +y^{2} = (t-x)^{2} +y^{2} = (t-x)(t-x) +y^{2} \end{eqnarray}$ erreichen, aber das $\begin{eqnarray} +y^{2} \end{eqnarray}$ stört mich und verstehe nicht wie ich das wegbekommen soll...
07.01.2017, 11:06	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst nur x und y als Konstante ansehen und das Polynom als quadratisches Polynom in der Unbestimmten t betrachten und dann die bekannte p-q-Formel anwenden.
07.01.2017, 13:55	Biene11	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh daran habe ich garnicht gedacht, damit komme ich dann auf die Nullstellen $\begin{eqnarray} t_{1} = x + \sqrt{-y^{2}} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} t_{2} = x - \sqrt{-y^{2}} \end{eqnarray}$ und somit zur folgenden Zerlegung $\begin{eqnarray} t^{2} - 2xt +x^{2} +y^{2} = (t-x)(t-x) +y^{2} = (t - x + \sqrt{-y^{2}}) (t - x - \sqrt{-y^{2}}) \end{eqnarray}$ Vielen Dank dafür. Aber es stimmt auch das ich von dem Min.pol. $\begin{eqnarray} \mu_{\alpha, \mathbb R } \end{eqnarray}$ den Fall für $\begin{eqnarray} \alpha\in \mathbb R \end{eqnarray}$ bei der Primfaktorzerlegung in $\begin{eqnarray} \mathbb C[t] \end{eqnarray}$ nicht betrachten muss oder? Bzw. würde ich jetzt $\begin{eqnarray} \mu_{\alpha,\mathbb C}= (t - x + \sqrt{-y^{2}}) (t - x - \sqrt{-y^{2}}) \end{eqnarray}$ schreiben oder nicht? (Hab bei dem Thema noch nicht so nen guten Durchblick sorry falls die Fragen bisschen dumm sind )
07.01.2017, 14:33	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie man das Polynom schreibt, ist egal. Die Nullstellen sind $\begin{eqnarray} x+iy \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x-iy \end{eqnarray}$ , also die beiden komplex konjugierten $\begin{eqnarray} \alpha, \overline {\alpha} \end{eqnarray}$ . Darauf sollte man achten, weil es vielleicht irgendwann mal nützlich ist.
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07.01.2017, 15:05	Biene11	Auf diesen Beitrag antworten »
Super Danke, jetzt ist mir auch klarer geworden warum die Aufgabe genau so gestellt wurde!

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