Integral e^(-x)/x

06.01.2017, 19:58	Lörres24	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral e^(-x)/x Meine Frage: Hi Leute, ich hänge an dieser Aufgabe nun schon eine ganze Weile und wäre für ein paar Tipps sehr dankbar, ebenfalls würde ich mich über Feedback für meine Herangehenweise freuen. Aufgabe ist es die Existenz des folgenden uneigentlichen Integrals zu überprüfen: $\begin{eqnarray} \int_0^\infty \frac{e^{-x}}{x} \, \mathrm{d}x \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Zuerst habe ich partiell integriert und dabei folgendes erhalten: $\begin{eqnarray} e^{-x} \cdot ln(x) - \int_0^\infty e^{-x} \cdot ln(x) \, \mathrm{d}x \end{eqnarray}$ Das wiederrum zu integrieren wusst ich beim besten Willen nicht deshalb habe ich die Zuweisungen beim partiellen Integrieren anderes gesetzt und erhalten somit eine Reihe die folgendermaßen aussieht: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{k! \cdot e^{-x}}{x^{k+1}} \cdot (-1)^{k+1} \end{eqnarray}$ Wenn ich das partielle Integrieren unendlich oft durchführe komme ich meiner Meinung auf diese Reihe, und kann sie getrost einsetzen für das Integrieren. Ich müsste doch eigentlich nur noch die Konvergenz der Reihe nachweisen bei $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} f(x) \end{eqnarray}$ und anschließend mit $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty} f(x) \end{eqnarray}$ um auf das Integral zu kommen? Ich bin jedoch völlig ratlos wie ich die Konvergenz nachweisen soll und langsam auch stark frustriert ich hoffe dass ihr mir helfen könnt! Vielen Dank schonmal für eure Zeit! freundliche Grüße Stephan PS: mir ist klar dass ich beim Integrieren als Grenze nicht 0 nehmen darf da im Nenner des Bruches x steht, da würde ich einfach einen limes gegen 0 einsetzen.
06.01.2017, 21:48	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Rechnungen stimmen nicht (zum Beispiel Durcheinander von bestimmten und unbestimmten Integralen, Vorzeichenfehler). Einmal heuristisch: In der Nähe von 0 gilt in erster Näherung $\begin{align} \operatorname{e}^{-x} \approx 1 - x \end{align}$ Das zeigt die Taylorreihe der Funktion. Damit wäre $\begin{align} \int_0^1 \frac{\operatorname{e}^{-x}}{x} ~ \dd x \approx \int_0^1 \left( \frac{1}{x} - 1 \right) ~ \dd x \end{align}$ Wie gesagt: Das ist nur eine heuristische Betrachtung. Aus ihr kannst du jedoch entnehmen, was da vermutlich passiert, und eine ordentliche Beweisführung daraus machen.
06.01.2017, 22:11	Lörres24	Auf diesen Beitrag antworten »
@Leopold danke für deine schnelle Antwort! kann man einfach so eine Abschätzung innerhalb eines Integrals treffen? Ich meine eine Stammfunktion ist ja noch nicht bekannt? Außerdem verstehe ich nicht woher du 1 als obere Grenze für dein Integral hernimmst? Mit dem durcheinanderwerfen von bestimmt und unbestimmtes Integral hast du natürlich recht, jedoch wird in der Aufgabenstellung exakt dieses Integral als uneigentliches Integral bezeichnet. Den Vorzeichenfehler von dem du sprichst den habe ich gefunden bei der Variante mit ln(x). Grüße
06.01.2017, 22:25	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Integral $\begin{align} \int_0^{\infty} \frac{\operatorname{e}^{-x}}{x} ~ \dd x \end{align}$ ist an der unteren und der oberen Grenze uneigentlich. Konvergent ist es nur, wenn die beiden Integrale $\begin{align} \int_0^1 \ldots ~ \dd x \end{align}$ und $\begin{align} \int_1^{\infty} \ldots ~ \dd x \end{align}$ , die jeweils nur an einer Grenze uneigentlich sind, simultan konvergieren. Ist auch nur eines dieser beiden Integrale divergent, so divergiert auch das Ausgangsintegral. Die Aufteilung an der Stelle $\begin{align} x_0 = 1 \end{align}$ ist natürlich willkürlich. Du könntest die Aufteilung an jeder anderen Stelle $\begin{align} x_0 > 0 \end{align}$ vornehmen. Wie gesagt, mein Vorschlag ist nur eine heuristische Betrachtung. Ich habe einfach die Funktion $\begin{align} \operatorname{e}^{-x} \end{align}$ durch eine andere ersetzt, die nahe 0 nicht weit von jener abweicht. Natürlich ist das "ungefähr gleich" $\begin{align} \approx \end{align}$ hier nur in einem sehr verwaschenen Sinn gemeint. Es ist ja schließlich auch deine Aufgabe, eine exakte Beweisführung durchzuführen. Und mein Vorschlag soll vor allem dazu dienen, daß du erkennst, wie sich das Integral in der Nähe der unteren Grenze 0 verhält. Einfach, damit du nicht in der falschen Richtung suchst. Hast du schon gemerkt, was da passiert?
07.01.2017, 00:36	Lörres24	Auf diesen Beitrag antworten »
da x im Nenner steht und die der Zähler gegen 1 konvergiert müsste die gesamte Funktion gegen unendlich verlaufen, jedoch kann ich damit keine Aussage über das Integral treffen, ich steh leider total auf dem Schlauch und kann der Idee gar nicht folgen da wir das bisher in der Uni ganz anders gemacht haben. Wegen der Abschätzung müsste ich doch dann eine divergierende kleinere Folge nehmen und mittels Minorantenkriterium arbeiten oder? So eine Abschätzung innerhalb eines Integrals kann ich mir ohne eine dazugehörige Stammfunktion gar nicht erklären. Das mit dem Aufspalten des Integrals is ne Klasse Idee! Danke dafür!
07.01.2017, 00:58	Lörres24	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurze Zwischenfrage: Du hast ja gesagt wenn eines der beiden Integrale divergiert, divergieren beide kann ich dann folgende Abschätzung treffen: $\begin{eqnarray} \int_0^1 \frac{e^{-x}}{x} \, \mathrm{d}x = \int_0^1 \frac{1}{x \cdot e^x} \, \mathrm{d}x \geq \int_0^1 \frac{1}{x \cdot } \, \mathrm{d}x \end{eqnarray}$ Da x ja nur zwischen 0 -> 1 wechselt kann ich doch diese Abschätzung treffen? Da der Wert von $\begin{eqnarray} e^x \end{eqnarray}$ nur dann kleiner 1 wird für einen negativen x-Wert, das Integral davon divergiert ja ganz offensichtlich wodurch beides divergieren würde? An der Stelle nochmal danke dass du dich meiner annimmst
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07.01.2017, 02:48	Lörres24	Auf diesen Beitrag antworten »
okay das was da oben steht ist schwachsinn, ich hab nochmal drüber nachgedacht. kann ich folgendermaßen argumentieren: $\begin{eqnarray} \int_0^1 \frac{e^{-x}}{x} \, \mathrm{d}x \geq \int_0^1 \frac{x-1}{x} \, \mathrm{d}x = \int_0^1 \frac{-1}{x}+1 \, \mathrm{d}x = (-ln(1) + 1) - \lim\limits_{x \rightarrow 0}{ (- ln (x) + x )} \end{eqnarray}$ Die Behauptung oben kann ich ja begründen da im Intervall von [0,1]: $\begin{eqnarray} e^{-x} \geq x-1 \end{eqnarray}$ ist. Das war jetzt viel hin und her und es ist wirklich spät deshalb lasse ich es mal gut sein für heute. Verzeih mir die 2 vorherigen Antworten da hab ich wohl zu wenig nachgedacht und direkt getippt. Grüße
07.01.2017, 06:53	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Ungleichung $\begin{align} e^{-x}\geq x-1 \end{align}$ im Intervall $\begin{align} [0,1] \end{align}$ ist zwar richtig, bringt aber überhaupt nichts, da ist ja sogar das triviale $\begin{align} e^{-x}>0 \end{align}$ stärker. Und ins Integral eingesetzt ergibt sich letztlich die Aussage $\begin{align} \int\limits_0^1 \frac{e^{-x}}{x} ~ \dd x \geq \int\limits_0^1 \frac{x-1}{x} ~ \dd x = -\infty \end{align}$ , was ebenfalls nix bringt. Nutze doch einfach, dass $\begin{align} e^{-x}\geq e^{-1} \end{align}$ für alle $\begin{align} 0\leq x\leq 1 \end{align}$ gilt (da $\begin{align} x\mapsto e^{-x} \end{align}$ monoton fallend ist), damit kannst du $\begin{align} \int\limits_0^1 \frac{e^{-x}}{x} ~ \dd x \geq e^{-1} \int\limits_0^1 \frac{1}{x} ~ \dd x \end{align}$ abschätzen.

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