Reihenwert nach oben abschätzen

06.01.2017, 21:37

Mewre23

Reihenwert nach oben abschätzen

Hallo alle zusammen ich muss eine Obere Schranke für den Wert der Reihe finden :

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1}{3^{n}}* (\frac{n}{n+1})^{-n^{2}} \end{eqnarray*}$

Also ich vermute mal das da irgendwie die Geometrische Reihe ins spiel kommen wird..

Meine bisherigen überlegungen bzw umformungen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } (\frac{1}{3})^{n}* \frac{1}{(\frac{n}{n+1})^{n^2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } (\frac{1}{3})^{n}* \frac{1}{(1- \frac{1}{n+1})^{n^2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } (\frac{1}{3})^{n}* \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1}{(1- \frac{1}{n+1})^{n^2} } \end{eqnarray*}$

Danach würde ich eine Indexverschiebung machen damit ich die Geo. Reihe anwenden kann..

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty } (\frac{1}{3})^{n+1}* \sum\limits_{n=0}^{\infty } \frac{1}{(1- \frac{1}{n+2})^{(n+1)^2} } \end{eqnarray*}$

und danach weiß ich nicht mehr weiter verwirrt

07.01.2017, 02:20

10001000Nick1

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RE: Reihenwert nach oben Abschätzen

Zitat:

Original von Mewre23
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } (\frac{1}{3})^{n}* \frac{1}{(1- \frac{1}{n+1})^{n^2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } (\frac{1}{3})^{n}* \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1}{(1- \frac{1}{n+1})^{n^2} } \end{eqnarray*}$

Seit wann denn das? verwirrt

Addition und Multiplikation darf man nicht einfach vertauschen. Oder ist bei dir etwa $\begin{eqnarray*} (a+b)\cdot (c+d)=a\cdot c+b\cdot d \end{eqnarray*}$ ?

Ich würde das so machen:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{3^n}\cdot (\frac{n}{n+1})^{-n^2}=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{3^n}\cdot (\frac{n+1}{n})^{n^2}=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{3^n}\cdot \left((1+\frac{1}{n})^n\right)^n \end{eqnarray*}$

Hast du eine Idee, wie man $\begin{eqnarray*} (1+\frac 1n)^n \end{eqnarray*}$ nach oben abschätzen kann?

07.01.2017, 10:25

Mewre23

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RE: Reihenwert nach oben Abschätzen
achso ok Big Laugh

(1+1/n)^n ist ja die zahl e. Also kann ich das ja nach oben Abschätzen mit der 3 oder ?

07.01.2017, 10:28

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mewre23
(1+1/n)^n ist ja die zahl e.

Nein. Aber im Zuge der Grenzwertermittlung $\begin{align*} \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e \end{align*}$ taucht insbesondere auch die Eigenschaft auf, dass $\begin{align*} n\mapsto \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \end{align*}$ streng monoton wachsend ist. Aus beiden zusammen folgt $\begin{align*} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n < e \end{align*}$ für alle $\begin{align*} n \end{align*}$ .

07.01.2017, 10:52

Mewre23

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Also ist meine Abschätzung falsch ? Oder soll ich lieber mit e die Abschätzung fortführen ?

07.01.2017, 11:05

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mewre23
Oder soll ich lieber mit e die Abschätzung fortführen ?

Auf alle Fälle besser als die Abschätzung mit 3, denn letztere führt auf eine geometrische Reihe $\begin{align*} \sum_n q^n \end{align*}$ mit $\begin{align*} q=1 \end{align*}$ , welche divergiert. Big Laugh

07.01.2017, 11:12

Mewre23

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Ja das stimmt also habe ich erstmal zusammengefasst:;

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1}{3^{n}} e^{n} \end{eqnarray*}$

was könnte ich denn jetzt noch machen ?

Ich habe noch ein Konflikt im Kopf das was wir machen ist doch nichts anderes als eine Konvergente Majorante für unsere Reihe zu finden verwirrt

07.01.2017, 11:17

Mewre23

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$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } (\frac{e}{3} )^{n} \end{eqnarray*}$

das wäre die Geo-Reihe aber diese kann man ja nur anwenden wenn n=0 ist muss ich eine Indexverschiebun machen ?

07.01.2017, 11:26

HAL 9000

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Du kannst eine Indexverschiebung machen. Oder den Summanden für n=0 abziehen - egal, beide Wege führen aufs gleiche Ergebnis.

07.01.2017, 11:32

Mewre23

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Was sagst du zu meiner frage ? das was wir machen ist das nicht eine Konvergente Majorante ? denn eine Konvergente Majorante ist ja quasi nichts anderes als eine Obere Schranke ...

dann würde raus kommen:

$\begin{eqnarray*} \frac{e}{3} * \sum\limits_{n=0}^{\infty } (\frac{e}{3} )^{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{e}{3} * \frac{1}{1-\frac{e}{3} } \end{eqnarray*}$

= 9.6489 also ungefähr 10..

ist jetzt 10 eine Obere schranke für den Reihenwert ?

Was meinst du mit aus den summanden die 0 abziehen ?

Und warum darf man die Geo.Reihe nur bei n=0 benutzen ?

07.01.2017, 12:43

10001000Nick1

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Richtig, $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty (\frac{e}{3} )^n \end{eqnarray*}$ ist eine konvergente Majorante zu $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{3^n}\cdot (\frac{n}{n+1})^{-n^2} \end{eqnarray*}$ .

Ich würde einfach $\begin{eqnarray*} \frac e3\cdot \frac{1}{1-\frac e3} \end{eqnarray*}$ als obere Schranke angeben. Wieso willst du denn die Abschätzung noch grober machen und 10 nehmen?

Durch Erweitern mit 3 kannst du den Bruch "schöner" schreiben: $\begin{eqnarray*} \frac{e}{3-e} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Mewre23
Und warum darf man die Geo.Reihe nur bei n=0 benutzen ?

Verstehe ich nicht. verwirrt

Die Formel für die geometrische Reihe lautet nun mal $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty q^n=\frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |q|<1 \end{eqnarray*}$ . Also darfst du diese Formel auch nur verwenden, wenn die Summe bei $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ beginnt. Deinen Fall kann man aber auf diesen Fall zurückführen.

Zitat:

Original von Mewre23
Was meinst du mit aus den summanden die 0 abziehen ?

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty (\frac{e}{3} )^n=\sum_{n=0}^\infty (\frac{e}{3} )^n-(\frac e3)^0 \end{eqnarray*}$

07.01.2017, 12:53

Mewre23

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Das ist doch im Grunde egal wenn der Wert 9,6489 eine Obere Schranke zu der Reihe ist dann ist doch auch der Wert 10 eine Obere Schranke zu der Reihe ... verwirrt

07.01.2017, 13:01

10001000Nick1

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Ja, natürlich ist 10 auch eine obere Schranke.

Aber oft will man möglichst gute Schranken haben, und da wäre $\begin{eqnarray*} \frac{e}{3-e} \end{eqnarray*}$ eindeutig die bessere Wahl.

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