Indirekter Beweis

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Hilbert23 Auf diesen Beitrag antworten »
Indirekter Beweis
Meine Frage:
Nach Gödels Unvollständigkeitssatz gibt es mindestens eine mathematische Aussage, die sich per Beweis weder beweisen noch widerlegen lässt.
Wir wollen eine solche Aussage eine unentscheidbare Aussage nennen.

Nehmen wir nun an, mir wird als Mathematikstudent eine solche unentscheidbare Aussage A in einem Übungszettel vorgelegt um sie zu beweisen.

Ich nehme nun an, die Aussage A ist falsch und ich kann dies zu einem Widerspruch führen.
Dann folgere ich gemäß der in der Vorlesung gelernten Beweismethode "Indirekter Beweis" : Die Aussage A ist wahr.

Nun habe ich (bzw. die Mathematik als Ganzes) folgendes Dilemma:

Gemäß Gödel ist die Aussage A unentscheidbar.
Gemäß Vorlesung ist die Aussage A wahr.

Was gilt nun?

Ich freue mich auf eure Anregungen zur Lösung dieses Problems.


Meine Ideen:
In der Vorlesung dürfen nur direkte Beweise geführt werden.
Diese direkten Beweise dürfen aber nur Sätze verwenden, die ihrerseits direkt bewiesen wurden etc.

Schweres Unterfangen.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn Du aus einer Aussage ~A eine falsche Aussage B herleiten kannst, ist A wahr. Dann ist A entscheidbar und Gödel hat nichts damit zu tun.
Hilbert23 Auf diesen Beitrag antworten »
Indirekter Beweis
Im Beweis des 1.Unvollständigkeitssatz hat Gödel eine Aussage in einem formalen System konstruiert. Nennen wir diese Aussage G.

Die letzten beiden Schritte des Beweises sind:

1.) Aus G folgt ein Widerspruch
2.) Aus ~G folgt ein Widerspruch

Aus 1.) und 2.) folgert Gödel : Die Aussage G ist in dem formalen System nicht beweisbar.


Hätte nun Gödel in seinem Beweis von der Beweismethode "Indirekter Beweis" Gebrauch gemacht, wäre er bei Schritt 1.) fertig gewesen und hätte gefolgert: ~G ist ein Satz des formalen Systems
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das kann nicht sein, sonst hätten wir ein Problem ...

Gödel hat bewiesen, dass in PM ("Principia Mathematica") eine Aussage G existiert, für die gilt:
1. G ist in PM nicht beweisbar.
2. ~G ist in PM nicht beweisbar.

... wir haben kein Problem.
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