Stetigkeit der n ten Wurzel

07.01.2017, 12:44	Mathestudent 2016	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit der n ten Wurzel Meine Frage: Wie genau löse ich die Folgenden 2 Aufgaben. Bei der ersten Aufgabe habe ich einen lösungsweg (ist der richtig?) und bei der 2 Aufgabe wäre ich über Tipps sehr dankbar. 1) Zeigen sie die Stetigkeit der nten Wurzel von den positiven reellen Zahlen in die positiven reellen Zahlen. (Der Punkt 0 erfordert eventuell eine Fallunterscheidung) 2) Sei g:]0,1[ --> definiert durch g(p/q)=1/q für p,q Element von N und g(x)=0 für x nicht Elemnt Q. An welchen Stellen ist g stetig?? Meine Ideen: Zu 1: $\begin{eqnarray} \|f(x)-f(y)\|=\|\sqrt[n]{x}-\sqrt[n]{y}\| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\|(\sqrt[n]{x}-\sqrt[n]{y})\cdot (\sqrt[n]{x^{n-1}}+\sqrt[n]{y^{n-1}})/(\sqrt[n]{x^{n-1}}+\sqrt[n]{y^{n-1}})\| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\|(x-y)+(\sqrt[n]{x} \sqrt[n]{y^{n-1}}+\sqrt[n]{y}\cdot \sqrt[n]{x^{n-1}})/(\sqrt[n]{x^{n-1}}+\sqrt[n]{y^{n-1}})\| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \leq \|(x-y)\cdot (\sum\limits_{k=0}^{n-1} \sqrt[n]{x^{k}}\cdot \sqrt[n]{y^{n-1-k}})/(\sqrt[n]{x^{n-1}}+\sqrt[n]{y^{n-1}})\| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \leq (\|\frac{(x-y)\cdot\frac{1}{n}}{\sqrt[n]{x^{n-1}}\cdot\sqrt[n]{y^{n-1}}}\| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \leq \frac{(x-y)\cdot\frac{1}{n}}{\sqrt[n]{x^{n-1}}\cdot\sqrt[n]{y^{n-1}}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \leq \frac{\delta\cdot\frac{1}{n}}{\sqrt[n]{y^{n-1}}} = \epsilon \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \delta = \epsilon\cdot\sqrt[n]{x^{n-1}}\cdot n \end{eqnarray}$ Edit (Nick): Latex-Tags ergänzt und Code korrigiert (schreibe \delta statt delta bzw. \epsilon statt epsilon).
07.01.2017, 14:39	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde dir gerne helfen, aber dafür musst du mir erstmal deine Ideen hinter den beiden Abschätzungen erklären. $\begin{eqnarray} =\|(x-y)+(\sqrt[n]{x} \sqrt[n]{y^{n-1}}+\sqrt[n]{y}\cdot \sqrt[n]{x^{n-1}})/(\sqrt[n]{x^{n-1}}+\sqrt[n]{y^{n-1}})\| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \leq \|(x-y)\cdot (\sum\limits_{k=0}^{n-1} \sqrt[n]{x^{k}}\cdot \sqrt[n]{y^{n-1-k}})/(\sqrt[n]{x^{n-1}}+\sqrt[n]{y^{n-1}})\| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \leq (\|\frac{(x-y)\cdot\frac{1}{n}}{\sqrt[n]{x^{n-1}}\cdot\sqrt[n]{y^{n-1}}}\| \end{eqnarray}$ Falls du schon einen Satz über Stetigkeit von Umkehrfunktionen kennst, wäre es übrigens deutlich leichter, den zu verwenden.
07.01.2017, 16:32	Mathestudent 2016	Auf diesen Beitrag antworten »
ich hatte mir gedacht das ich den binomischen Lehrsatz anwende. Habe das Prinzip dahinter noch nicht ganz verstanden. Mir wurde in der Uni gesagt, dass mein Ansatz(also die Bruchwerweiterung richtig ist, aber die Abschätzungen danach nicht mehr)zusätzlich wurde noch der Tipp gegeben, dass ich den Zähler durch eine Konstante abschätzen kann und das der "überschüssige" Term im Zähler mit der Gleichung (x-x_{k})*Konstante abgeschätzt werden kann. Leider haben den Satz über die Umkehrfunktionen noch nicht gehabt.
07.01.2017, 16:47	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn dir an der Uni schon gesagt wurde, dass die Abschätzungen falsch sind, warum präsentierst du sie hier dann einfach so, ohne was dazuzusagen? Ich habe eine ganze Weile überlegt, wie man die Abschätzungen rechtfertigen kann, bis ich mir dachte, dass ich einfach mal nachfrage. Wenn du gleich dazu gesagt hättest, dass die Abschätzungen garnicht richtig sind, hätte ich mir die Zeit sparen können. Die Erweiterung mit $\begin{align} \sqrt[n]{x^{n-1}}+\sqrt[n]{y^{n-1}} \end{align}$ ist zwar die richtige Idee, aber zielführender wäre, mit $\begin{align} \sum_{k=0}^{n-1}\left(\sqrt[n]{x}\right)^k\left(\sqrt[n]{y}\right)^{n-1-k} \end{align}$ zu erweitern, also genau mit dem, was hinter der ersten Abschätzung im Zähler einer der Faktoren ist. Dabei muss man natürlich zunächst mal $\begin{align} x,y\neq 0 \end{align}$ annehmen. Erweitere damit und vereinfache dann den Zähler. Im Nenner kannst du zum Beispiel verwenden, dass für $\begin{align} x\neq 0 \end{align}$ man $\begin{align} \delta \end{align}$ klein genug wählen kann, dass $\begin{align} y>\frac{x}{2} \end{align}$ . Damit kannst du den Nenner abschätzen und dann auch vereinfachen.

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