Relativ offene Mengen

07.01.2017, 13:32

zinR

Relativ offene Mengen

Hi,

ich stehe vor folgender Aufgabe:
Es seien $\begin{eqnarray*} M,N,U \subseteq \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} M \cup N = U \end{eqnarray*}$ . Die Mengen $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ seien in $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ abgeschlossen.
Zu zeigen ist, dass eine Menge $\begin{eqnarray*} V \subseteq U \end{eqnarray*}$ genau dann offen in $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ist, wenn $\begin{eqnarray*} V \cap M \end{eqnarray*}$ offen in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V \cap N \end{eqnarray*}$ offen in $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ ist.

Mein Ansatz:
Def.: Es sei $\begin{eqnarray*} M \subseteq \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ . Eine Menge
$\begin{eqnarray*} U \subseteq M \end{eqnarray*}$ heißt offen in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ , wenn es eine offene Menge $\begin{eqnarray*} V \subseteq \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} U = V \cap M \end{eqnarray*}$ gibt.

Damit sollte die Richtung $\begin{eqnarray*} `` \Rightarrow " \end{eqnarray*}$ eigentlich klar sein:
Sei $\begin{eqnarray*} V \subseteq U \end{eqnarray*}$ offen in $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ . Wir finden also eine offene Menge $\begin{eqnarray*} A \subseteq \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} V = A \cap U = A \cap (M \cup U ) = (A \cap M) \cup (A \cap N) \end{eqnarray*}$ .
Gleichzeitig ist $\begin{eqnarray*} V = (V \cap M)\cup (V \cap N) \end{eqnarray*}$ . Es folgt $\begin{eqnarray*} A \cap M = V \cap M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A \cap N = V \cap N \end{eqnarray*}$ .

Stimmt das soweit?
Bei der Rückrichtung habe ich Probleme - Ich kann es mir nichtmal intuitiv vorstellen.
Für Hilfe wäre ich dankbar!

Edit: Die Definition für relativ abgeschlossen ist analog (ersetze offen durch abgeschlossen). Mein Ansatz für die Rückrichtung war es, mithilfe des Komplements der abgeschlossenen Mengen $\begin{eqnarray*} D \subseteq \mathbb{C} : M = D \cap U \end{eqnarray*}$ (analog für $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ ) zu arbeiten. Leider war ich nicht all zu erfolgreich dabei. verwirrt

07.01.2017, 16:32

Clearly_wrong

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Deine Konklusion

Zitat:

Es folgt $\begin{eqnarray*} A \cap M = V \cap M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A \cap N = V \cap N \end{eqnarray*}$ .

stimmt zwar, aber wie du da hingekommen bist, verstehe ich nicht.

Ich hoffe, du hast nicht aus $\begin{align*} (A\cap M)\cup(A\cap N) = (V\cap M)\cup (V\cap N) \end{align*}$ geschlossen, dass die jeweiligen ersten bzw. zweiten vereinigten Mengen gleich sind. Falls doch, frage ich, was dich dazu führt, das zu glauben. Die Vereinigung ist ja kommutativ, man kann also die Mengen ohne weiteres vertauschen. Könnte man dann auch aus $\begin{align*} (A\cap M)\cup(A\cap N) = (V\cap N)\cup(V\cap M) \end{align*}$ , was ja auch stimmt, folgern, dass $\begin{align*} A\cap M = V\cap N \end{align*}$ , was offensichtlich falsch ist?

Betrachte stattdessen lieber die Gleichung $\begin{align*} V = A\cap U \end{align*}$ und schneide beide Seiten mit $\begin{align*} M \end{align*}$ bzw. $\begin{align*} N \end{align*}$ .

Zur anderen Richtung. Wir finden in $\begin{align*} \mathbb C \end{align*}$ offene Mengen $\begin{align*} A,B \end{align*}$ und in $\begin{align*} \mathbb C \end{align*}$ abgeschlossene Mengen $\begin{align*} C,D \end{align*}$ mit

$\begin{align*} V\cap M = A\cap M \end{align*}$
$\begin{align*} V\cap N = B\cap N \end{align*}$
$\begin{align*} M = C\cap U \end{align*}$
$\begin{align*} N = D\cap U \end{align*}$

Ich behaupte, dass $\begin{align*} V = \big((A\cap B)\cup(A\cap D^c)\cup (B\cap C^c)\big)\cap U = (A\cap B\cap U)\cup(A\cap D^c\cap U)\cup (B\cap C^c\cap U) \end{align*}$ .

Die Beweisrichtung $\begin{align*} \supseteq \end{align*}$ überlasse ich dir. Du brauchst nur eine Fallunterscheidung machen, in welcher der drei Vereinigten Mengen ganz rechts ein Element liegt und damit zeigen, dass es unabhängig davon in $\begin{align*} V \end{align*}$ liegt.

Zur anderen Richtung:

Ist $\begin{align*} x\in V \end{align*}$ , so ist natürlich auch $\begin{align*} x\in U \end{align*}$ , es reicht also, zu zeigen, dass $\begin{align*} x\in (A\cap B)\cup(A\cap D^c)\cup (B\cap C^c) \end{align*}$ .

Fall 1: $\begin{align*} x\in M \end{align*}$ . Dann folgt $\begin{align*} x\in V\cap M = A\cap M \end{align*}$ , also $\begin{align*} x\in A \end{align*}$ . Es genügt daher, zu zeigen, dass $\begin{align*} x\in B \end{align*}$ oder $\begin{align*} x\in D^c \end{align*}$ , also $\begin{align*} x\in B\cup D^c \end{align*}$ gilt. Äquivalent können wir zeigen, dass $\begin{align*} x\in B^c\cap D \end{align*}$ nicht sein kann. Angenommen wir hätten $\begin{align*} x\in B^c\cap D \end{align*}$ . Wegen $\begin{align*} x\in U \end{align*}$ folgt $\begin{align*} x\in D\cap U = N \end{align*}$ . Damit folgt $\begin{align*} x\in V\cap N = B\cap N \end{align*}$ , also $\begin{align*} x\in B \end{align*}$ , Widerspruch.

Fall 2: $\begin{align*} x\in N \end{align*}$ geht analog.

07.01.2017, 16:54

zinR

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Genial, Danke!

Ich setze mich später an die andere Richtung.

Wie hast Du Dir intuitiv $\begin{eqnarray*} V = [(A \cap B)\cup (A \setminus D) \cup (B \setminus C)] \cap U \end{eqnarray*}$ hergeleitet?
Womöglich mittels einer Skizze. Ich wäre wirklich dankbar, wenn Du mir das verrätst - schließlich würde ich gerne wissen, wie ich an solche Probleme rangehen kann. Das Ergebnis zu beweisen, ist natürlich etwas anderes, aber häufig impliziert ein guter Überblick einen sauberen Beweis.

Danke im Voraus smile

07.01.2017, 17:09

Clearly_wrong

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Du liegst vollkommen richtig, ich habe mir eine Skizze gemacht, allerdings nur eindimensional, es war klar, dass die Aussage eigentlich nichts mit der speziellen Struktur von $\begin{align*} \mathbb C \end{align*}$ zu tun haben kann. Ohne Skizze wäre ich auch nicht darauf gekommen, dass es diese Mengen sein müssen. Natürlich kann man sich auch, wenn man eine Skizze angefertigt hat, nie sicher sein, dass das Skizzenergebnis richtig ist, weil man ja in der Skizze ausversehen einen Spezialfall abgebildet haben könnte, in dem gewissen Mengen wegfallen. Zum Beispiel könnte in einer Skizze gut mal der Teil mit $\begin{align*} A\cap B \end{align*}$ wegfallen, wenn man nicht aufpasst.

Vor der Anfertigung einer Skizze habe ich relativ lange überlegt, ob man irgendwie durch Anwendung von Distributivgesetzen $\begin{align*} V = (V\cap M)\cup (V\cap N) \end{align*}$ umformen kann, sodass man eine Lösung sieht, das war aber nicht von Erfolg gekrönt.

Nachdem ich die zielführende Gleichung vermutet habe, habe ich übrigens auch erstmal versucht, sie durch Umformungen zu zeigen, das wurde mir allerdings schnell zu unübersichtlich. Ein gutes Beispiel dafür, dass es sinnvoll ist, Mengengleichheiten durch Inklusionen zu zeigen. Insbesondere die Fallunterscheidungen, die man dann machen kann, schaffen enorm viel Übersicht.

Edit: Habe nochmal ein Bild meiner Skizze angehängt. Ich hoffe, sie ist selbsterklärend.
[attach]43538[/attach]

Man sieht hier gut, dass Skizzen irreführend sein können. Anhand der Skizze könnte man vermuten, dass auch $\begin{align*} A\cup B \end{align*}$ eine Möglichkeit für die offene Menge wäre, was natürlich falsch ist.

07.01.2017, 18:33

zinR

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Sehr cool! Danke dir smile

Die Skizze ist super, jetzt habe ich auch eine ungefähre Vorstellung davon, wie man mit solchen Problemen umgehen kann. Speziell wenn es nicht von Bedeutung ist, ob wir das ganze in einer oder zwei Dimensionen betrachten, bietet sich die Intervallnotation ja an.

Danke noch einmal! Es ist ja nicht selbstverständlich, dass man so ausführliche Hilfe leistet smile

07.01.2017, 19:43

Clearly_wrong

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Gern geschehen. Es freut mich, dass du nicht nur für den Einzelfall, sondern auch konzeptionell etwas mitnehmen konntest smile

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