Vektoren in linearer Hülle (parameterabhängig) enthalten?

07.01.2017, 14:07	Hans7530	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektoren in linearer Hülle (parameterabhängig) enthalten? Meine Frage: Hallo zusammen, ich soll herausfinden ob die Vektoren $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -10 \\ 2 \\ -10 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ in der linearen Hülle $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ -1 & 0 & a \\ 3 & 2 & 14 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ entahlten sind. Meine Ideen: Für den ersten Vektor habe ich die Lösung (-2)v1+(-2)v2+0*(v3) gefunden, dass bedeutet also das er in der linearen Hüllen enthalten ist. Beim zweiten Vektor habe ich keine Idee wie ich es angehen soll, da es ja theoretisch von a abhängen müsste ob der zweite Vektor in der linearen Hülle enthalten ist. Könnte mir jmd. einen Tipp geben? Vielen Dank im Voraus!
08.01.2017, 09:40	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Was du als Matrix geschrieben hast, sollen wohl drei Vektoren sein, die einen Unterraum des $\begin{align} \mathbb{R}^3 \end{align}$ erzeugen. Ich weiß nicht, was du schon über Determinanten weißt. Denn die Determinante der Matrix ist für $\begin{align} a \neq -8 \end{align}$ von Null verschieden, so daß die drei Vektoren in diesem Fall eine Basis des $\begin{align} \mathbb{R}^3 \end{align}$ bilden, womit dein zweiter Vektor in deren linearer Hülle liegt. Der Fall $\begin{align} a=-8 \end{align}$ wäre dann getrennt zu untersuchen. Falls du dich bei Determinanten noch nicht auskennst, kannst du auch das lineare Gleichungssystem $\begin{align} \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ -1 & 0 & a \\ 3 & 2 & 14 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix} \end{align}$ lösen, etwa mit dem Gaußschen Algorithmus. Um dir Fallunterscheidungen zu ersparen, vermeide es, durch Terme, die $\begin{align} a \end{align}$ enthalten, zu dividieren. Ein Vorschlag zum Beginnen: Zunächst die erste und die zweite Zeile vertauschen, dann geeignete Vielfache der neuen ersten Zeile zu den beiden anderen Zeilen addieren, so daß die beiden unteren Elemente der ersten Spalte 0 werden. Wenn du die Aufgabe genau liest, so ist nicht verlangt, eine Linearkombination für den zweiten Vektor konkret anzugeben. Du kannst mit der Rechnung aufhören, sobald du die Lösbarkeit des Gleichungssystems beurteilen kannst.

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