Stetigkeit

07.01.2017, 19:30	strumpf	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit Hallo, ich bin im ersten Semester und hätte eine Frage zu einer Aufgabe in Analysis. Angabe: "Für welche $\begin{eqnarray} a\in \mathbb R \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ist f: \mathbb R -> \mathbb R x \mapsto x^a stetig? \end{eqnarray}$ Ich weiß, dass es für natürliche a stetig ist (kann ich auch zeigen). Ich weiß auch das die Wurzelfunktion nicht uneingeschränkt stetig ist. Aber wie gehe ich das am besten an in Anbetracht der unendlich vielen Werte die a annehmen kann? LG
07.01.2017, 20:09	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Komische Aufgabe. Alle Funktionen $\begin{align} x \mapsto x^a \end{align}$ sind in ihrem jeweils maximalen Definitionsbereich $\begin{align} D_f \end{align}$ stetig. Für $\begin{align} a = \frac{1}{2} \end{align}$ zum Beispiel ist das $\begin{align} D_f = [0,\infty) \end{align}$ , für $\begin{align} a = -2 \end{align}$ ist es $\begin{align} D_f = \mathbb{R} \setminus \{ 0 \} \end{align}$ , und für $\begin{align} a = - \pi \end{align}$ ist es $\begin{align} D_f = (0,\infty) \end{align}$ . Insofern irritiert die Angabe $\begin{align} f: \, \mathbb{R} \to \mathbb{R} \end{align}$ .
08.01.2017, 14:36	strumpf	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir Leid, ich wollte nur eine Teilaussage wissen und hab deshalb nur einen Teil der ganzen Aufgabe gepostet, was die Sache wohl aus dem Zusammenhang reißt. Außerdem ist mir ein Fehler unterlaufen, den f geht natürlich von R^2 nach R! Die ganze Aufgabe lautet eigentlich: Für welche a $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ R ist f(x,y):= $\begin{eqnarray} \frac{x y^{a}}{x^2+ y^2} \end{eqnarray}$ für (x,y) $\begin{eqnarray} \neq \end{eqnarray}$ (0,0) und f(x,y):= 0 für (x,y) = ((0,0) stetig? Ich handle zuerst den Fall (x,y) $\begin{eqnarray} \neq \end{eqnarray}$ (0,0) ab, indem ich die Funktion als Quotienten von 4 anderen Funktionen schreibe, von denen ich dann einzeln zeige, dass sie stetig sind. f1:= (x,y) $\begin{eqnarray} \mapsto \end{eqnarray}$ x f2:= (x,y) $\begin{eqnarray} \mapsto \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y^{a} \end{eqnarray}$ f3:= (x,y) $\begin{eqnarray} \mapsto \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^{2} \end{eqnarray}$ f4:= (x,y) $\begin{eqnarray} \mapsto \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y^{2} \end{eqnarray}$ Es ist dann f= $\begin{eqnarray} \frac{f1f2}{f3 + f4} \end{eqnarray}$ Bei f1,f3,f4 hab ich keine Probleme nur bei f2 weiß ich nicht genau wie ich das handhaben soll?

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