Integration durch Substitution mit mehreren Funktionen

07.01.2017, 23:11

PHBU

Integration durch Substitution mit mehreren Funktionen

Hallo Forumnutzer,

habe mich heute mal kurz mit der Integration durch Substitution beschäftigt und stehe noch etwas auf dem Schlauch.
Mit dieser Methode versucht man ja szg. die Kettenregel beim Ableiten auf das Integrieren zu übertragen.
Bei der Kettenregel gilt ja:

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{rl} \phantom\Leftrightarrow & f_0\left(x\right)=f_1\left(f_2\left(f_3\left(x\right)\right)\right)\\ \Rightarrow & {f_0}'\left(x\right)={f_1}'\left(f_2\left(f_3\left(x\right)\right)\right)\cdot {f_2}'\left(f_3\left(x\right)\right)\cdot{f_3}'\left(x\right) \end{array} \end{eqnarray*}$

Und die allgemeine Form der Integration durch Substitution lautet:

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{rll} \phantom\Leftrightarrow & F\left(x\right)=\int f_0\left(f_1\left(x\right)\right)\textbf{d}x & \left|u:=f_1\left(x\right)\right.\\ \Leftrightarrow & F\left(x\right)=\int f_0\left(u\right)\textbf{d}u\cdot\left({f_1}'\left(x\right)\right)^{-1} \end{array} \end{eqnarray*}$

(Hoffe ich)
Wie sähe jetzt die Integration durch Sub. folgender Funktionen aus?

$\begin{eqnarray*} F_0\left(x\right)=\int f_0\left(f_1\left(f_2\left(f_3\left(x\right)\right)\right)\right)\textbf{d}x \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} F_1\left(x\right)=\int f_0\left(f_1\left(f_2\left(f_3\left(x\right)\right)\right)\right)\cdot f_4\left(x\right)\textbf{d}x \end{eqnarray*}$

Danke im Voraus!

Mit freundlichen Grüßen
PHBU

07.01.2017, 23:36

005

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RE: Integration durch Substitution mit mehreren Funktionen

Zitat:

Original von PHBU
Und die allgemeine Form der Integration durch Substitution lautet:

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{rll} \phantom\Leftrightarrow & F\left(x\right)=\int f_0\left(f_1\left(x\right)\right)\textbf{d}x & \left|u:=f_1\left(x\right)\right.\\ \Leftrightarrow & F\left(x\right)=\int f_0\left(u\right)\textbf{d}u\cdot\left({f_1}'\left(x\right)\right)^{-1} \end{array} \end{eqnarray*}$

Sie lautet vielmehr so:

$\begin{eqnarray*} \int_a^bf(g(x))g'(x)\,dx=\int_{g(a)}^{g(b)}f(u)\,du, \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} \int f(g(x))g'(x)\,dx=\int f(u)\,du\,\bigg\vert_{u=g(x)} \end{eqnarray*}$

Entweder Du hast nur x oder nur u, aber nicht beides bunt gemischt.

09.01.2017, 15:54

PHBU

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Und die Beispiele?
Hallo 005,

das Reziproke von $\begin{eqnarray*} f\left(x\right) \end{eqnarray*}$ , dachte ich, kommt wie im Video erklärt zustande.
Allerdings liegt das auch wahrscheinlich daran, dass das zu Substituierende im Nenner steht. Deswegen habe ich auch die Variablen "vermischt".

Viel wichtiger wäre mir zu wissen, wie man mit der Substitution von mehreren Funktionen vorgeht. Denn die allgemeine Form, wie Du sie mir genannt hast, berücksichtigt ja nur zwei Funktionen ( $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ).

Wie sähe aber die Integration folgendes Termes aus?

$\begin{eqnarray*} F_0\left(x\right)=\int f_0\left(f_1\left(f_2\left(f_3\left(x\right)\right)\right)\right)\textbf{d}x \end{eqnarray*}$

Es muss da doch irgendwo eine eindeutige Struktur sein, um dies mit Substitution zu lösen.

Danke nochmal!

Mit freundlichen Grüßen
PHBU

09.01.2017, 16:38

005

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RE: Und die Beispiele?

Zitat:

Original von PHBU

$\begin{eqnarray*} F_0\left(x\right)=\int f_0\left(f_1\left(f_2\left(f_3\left(x\right)\right)\right)\right)\textbf{d}x \end{eqnarray*}$

In dieser Formel fehlen die Ableitungen der inneren Funktion(en). Da brauchst Du dann auch gar keine inneren Funktionen mehr zu notieren, es fuehrt zu nichts. Stattdessen kannst Du gleich meine letzte Formel von rechts nach links lesen. Du erhaelst dann:

$\begin{eqnarray*} \int f(x)\,dx=\int f(g(t))g'(t)\,dt\bigg\vert_{t=g^{-1}(x)} \end{eqnarray*}$

Worauf Du hinauswillst ist wohl etwas in der Art:

$\begin{eqnarray*} \int f(g(h(x)))g'(h(x))h'(x)\,dx=\ldots \end{eqnarray*}$

Da kannst Du einfach 2x hintereinander substituieren. Erst $\begin{eqnarray*} u=h(x) \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} v=g(u) \end{eqnarray*}$ . Eine eigene Formel braucht man dazu nicht zu entwickeln.

09.01.2017, 18:50

PHBU

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Dankeschön!
Hallo 005,

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \int f(g(h(x)))g'(h(x))h'(x)\,dx=\ldots \end{eqnarray*}$
Da kannst Du einfach 2x hintereinander substituieren. Erst $\begin{eqnarray*} u=h(x) \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} v=g(u) \end{eqnarray*}$ . Eine eigene Formel braucht man dazu nicht zu entwickeln.

Danke Dir! Ja, das wollte ich wissen.

Einen schönen Abend noch
PHBU

01.02.2017, 20:44

PHBU

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Nachfrage
Hallo nochmal,

habe festgestellt, dass ich doch noch unsicher bin.
Es gilt ja:

$\begin{eqnarray*} \int a\textbf{d}x=b^{-1}\cdot\int\left(a\cdot b\right)\textbf{d}x \end{eqnarray*}$

Folglich müsste dann doch auch Folgendes gelten:

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{rl} \phantom\Leftrightarrow & u\text{:=}f_2\left({f_3\left({x}\right)}\right)\cdot f_3\left({x}\right)\\ {} & f_0\left({x}\right)=f_1\left({f_2\left({f_3\left({x}\right)}\right)}\right)\\[10pt] \Rightarrow & \left\{\begin{array}{l} \frac{\textbf{d}}{\textbf{d}x}f_0\left({x}\right)=\frac{\textbf{d}}{\textbf{d}x}f_1\left({f_2\left({f_3\left({x}\right)}\right)}\right)\cdot\frac{\textbf{d}}{\textbf{d}x}f_2\left({f_3\left({x}\right)}\right)\cdot\frac{\textbf{d}}{\textbf{d}x}f_3\left({x}\right)\\[10pt] \int f_0\left({x}\right)\textbf{d}x=u^{-1}\cdot\int f_1\left({f_2\left({f_3\left({x}\right)}\right)}\right)\cdot u\textbf{d}x=u^{-1}\cdot F_1\left({F_2\left({F_3\left({x}\right)}\right)}\right) \end{array}\right. \end{array} \end{eqnarray*}$

Wenn die unterste Formel (Integration) stimmen sollte, bin ich beruhigt. Darauf wollte ich nämlich eigentlich hinaus. Ich muss das Reziproke von der zu integrierenden, verketteten Funktion vor das Integral ziehen.

Wäre dankbar um Bestätigung.

MIt freundlichen Grüßen
PHBU

04.02.2017, 12:49

PHBU

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Sieht gut aus...
Hallo nochmal,

die Formel scheint zu stimmen - nach eigenen Berechungen...

Gilt dann für die partielle Integration nicht auch

$\begin{eqnarray*} f_0\left({x}\right)=f_1\left({x}\right)\cdot f_2\left({x}\right)\cdot\text{\dots}\cdot f_n\left({x}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow\int f_0\left({x}\right)\mathrm{d}x=f_1\left({x}\right)\cdot\int f_2\left({x}\right)\mathrm{d}x\cdot\text{\dots}\cdot\int f_n\left({x}\right)\mathrm{d}x+\int f_1\left({x}\right)\mathrm{d}x\cdot f_2\left({x}\right)\cdot\text{\dots}\cdot \int f_n\left({x}\right)\mathrm{d}x+\text{\dots}+\int f_1\left({x}\right)\mathrm{d}x\cdot \int f_2\left({x}\right)\mathrm{d}x\cdot\text{\dots}\cdot f_n\left({x}\right) \end{eqnarray*}$
?

MfG
PHBU

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