Integration, nach welcher Regel?

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08.01.2017, 00:56	ohhdongreen	Auf diesen Beitrag antworten »
Integration, nach welcher Regel? Meine Frage: Hallo Leute, lerne gerade Dynamik und merke dabei, dass die Analysis Kenntnisse von vor einigen Jahren nicht mehr die frischesten sind. In einem der Beispiele wird folgendes Integral gebildet, welches ich nach vielen Versuchen nicht nachvollziehen kann. Wie wird es gebildet ? Edit (mY+): Link gelöscht. Links zu externen Uploadseiten sind nicht gestattet. Hänge die Grafik statt dessen an deinen Beitrag an. [attach]43547[/attach] Hier auch ein Foto aus dem Buch selbst: Edit (mY+): Link entfernt. [attach]43548[/attach] Meine Ideen: Einige Videos geschaut und Substitution ausprobiert.
08.01.2017, 01:27	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde sagen, da wurde die Regel "geschicktes Sehen" angewendet Im Ernst: Im Buch wurde halt nicht das Integral mit Hilfe von Integrationsmethoden berechnet, sondern eine Stammfunktion angegeben und man kann leicht durch Differenzieren prüfen, dass das seine Richtigkeit hat. Wenn man es richtig ausrechnen will, hat man zwei Möglichkeiten, je nach Wissenstand: Entweder, man weiß bereits, dass $\begin{align} \frac{\dd}{\dd x}\operatorname{arcosh}(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} \end{align}$ , dann genügt es, $\begin{align} s=s_1t \end{align}$ zu substituieren und man erhält das Grundintegral $\begin{align} \int \frac{1}{\sqrt{t^2-1}} \end{align}$ mit einer Stammfunktion $\begin{align} \operatorname{arcosh}(t) = \log(t+\sqrt{t^2-1}) = \log\left(\frac{s}{s_1}+\sqrt{\frac{s^2}{s_1^2}-1}\right) = \log\left(s+\sqrt{s^2-s_1^2}\right)-\log(s_1) \end{align}$ , wobei wir den konstanten Term $\begin{align} \log(s_1) \end{align}$ weglassen können und dann eben eine andere Stammfunktion erhalten. Dafür muss man natürlich auch die Identität $\begin{align} \operatorname{arcosh}(t) = \log(t+\sqrt{t^2-1}) \end{align}$ kennen, aber wenn man die nicht kennt, lässt man das eben als $\begin{align} \operatorname{arcosh} \end{align}$ stehen. Per Hand ausrechnen kann man sowieso beides nicht, von speziellen Werten abgesehen. Wenn man diese Ableitung nicht kennt, kann man stattdessen $\begin{align} s = s_1\cosh(t) \end{align}$ substituieren. Nach Ausnutzen der Identität $\begin{align} \cosh^2(t)-\sinh^2(t) = 1 \end{align}$ kürzt sich dann so ziemlich alles im Integral weg und man erhält $\begin{align} \int 1\dd t \end{align}$ , nach Resubstitution also ebenfalls eine Stammfunktion $\begin{align} t = \operatorname{arcosh}\left(\frac{s}{s_1}\right) \end{align}$ .
08.01.2017, 02:21	ohhdongreen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, schonmal vielen Dank für die Antwort aber ich habe leider so gut wie gar nichts verstanden. Ich habe im Leben noch nicht den cosh(x) verwendet und wusste bis vor 10 Minuten nichtmal, dass er existiert. Daher glaube ich, dass mir einiges an Grundwissen fehlt. Mir ist gerade aufgefallen, dass ich die Lösung nichtmal abgeleitet bekomme. Meine Rechnung sieht nach der Kettenregel so aus: Edit (mY+): Link gelöscht. Links zu externen Uploadseiten sind nicht gestattet. Hänge die Grafik statt dessen an deinen Beitrag an. Vielleicht wäre es hilfreich erstmal herauszufinden was mir beim differenzieren schon fehlt...was mache ich da falsch ?
08.01.2017, 02:39	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
f'(x)=0 da die Funktion eine Kontante ist. Das mal zuerst
08.01.2017, 02:50	ohhdongreen	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist wohl langsam Zeit fürs Bett Nicht-Konstante: Edit (mY+): Link gelöscht. Links zu externen Uploadseiten sind nicht gestattet. Hänge die Grafik statt dessen an deinen Beitrag an.
08.01.2017, 06:56	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
ein bisschen schräge Darstellung. Die formale Schreibfigur ist etwas trickig, besonders bei Funktionen mit "+" . Mir ist dabei noch nichts besseres eingefallen wie: $\begin{eqnarray} y&=&\ln u \\u&=&\sqrt{s^2-s_1^2}+s\quad \Rightarrow\\<br /> \frac {df}{ds}&=&\frac {dy}{du}\cdot\frac {du}{ds}\\<br /> &=&\frac {1}{u}\cdot\bigg(\frac {1}{2\sqrt{s^2-s_1^2}}\cdot 2s{\color{red}+1}\bigg) <br /> \end{eqnarray}$ ich vermisse das Rote bei dir -------------------------------------------------------- Links zu externen Hosts sind nicht gestattet - warum wohl ? Bitte hier hochladen.
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08.01.2017, 17:30	ohhdongreen	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe den Fehler in u' angepasst und stehe jetzt bei folgender Gleichung: [attach]43554[/attach] Wie löse ich das ganze jetzt weiter auf, um am Ende auf das gewünschte Ergebnis zu kommen ? $\begin{eqnarray} f'(s) = \frac{1}{\sqrt{s^{2}-s1^{2}}} \end{eqnarray}$
08.01.2017, 18:54	ohhdongreen	Auf diesen Beitrag antworten »
Und jetzt soweit auch gelöst.. es ist an der Algebra gescheitert. [attach]43555[/attach]
08.01.2017, 19:27	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
manchmal ist es doch ganz gut nicht alles sofort zu beantworten. Schön, dass du deshalb nicht die Flinte ins Korn wirfst
09.01.2017, 23:18	ohhdongreen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, da bin ich wieder.. Ich habe jetzt größtenteils die Integration nachvollziehen können mit einer neuen Regel und mehreren trigonometrischen Zusammenhängen. Die aktuelle Rechnung sieht folgendermaßen aus: [attach]43567[/attach] [attach]43568[/attach] Wenn man das Integral bei WolframAlpha durchrechnen lässt gibt es allerdings noch folgenden Schritt: [attach]43569[/attach] Was ist dort gemeint mit "for restricted x and y values" und wie verschwindet der "y" Nenner im Logarithmus ?
10.01.2017, 17:00	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach Auflösen des Bruches im Logarithmus wird nach bekannter Regel der Logarithmus des Nenners subtrahiert. Dann kann $\begin{eqnarray} C - \ln y \end{eqnarray}$ zu einer neuen Konstanten vereinigt werden, denn $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ ist ja in diesem Fall auch konstant. ------------ 'Restricted' (eingeschränkt) heisst, dass die Logarithmanden (insbesondere y) nur positiv sein können, andernfalls sind sie zwischen Betragszeichen zu setzen. Auch der Term unter der Wurzel muss klarerweise $\begin{eqnarray} \geq 0 \end{eqnarray}$ sein. mY+

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