Prüfen von Abbildungen auf Linearität

08.01.2017, 14:05

Tinkerbell97

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Prüfen von Abbildungen auf Linearität

Meine Frage:
Hallo,
für ein Übungsblatt muss ich überprüfen, ob folgende Abbildung linear ist:
$\begin{eqnarray*} f\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 + 2a_2 + a_3 \\ a_1 - a_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich glaube, dass man hier auf Additivität und Homogenität überprüfen muss, weiß aber nicht wie man das hier anwenden soll :/

08.01.2017, 14:10

Leopold

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Wenn wir

$\begin{align*} a = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \, , \ \ b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \end{align*}$

abkürzen, hast du für die Additivität

$\begin{align*} f(a+b) = f(a) + f(b) \end{align*}$

zu zeigen. Jetzt berechne einfach beide Seiten der Gleichung getrennt, wie es deine Abbildungsvorschrift angibt, und schau, ob sich dasselbe ergibt.

08.01.2017, 14:23

Tinkerbell97

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Okay danke aber... das ist jetzt blöd nur, dasselbe wie was? Also wie finde ich heraus ob das Ergebnis dasselbe wie.. was ist?

08.01.2017, 14:27

Leopold

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Nun, ob die Berechnung von $\begin{align*} f(a+b) \end{align*}$ dasselbe ergibt wie die Berechnung von $\begin{align*} f(a) + f(b) \end{align*}$ . "Dasselbe wie" bedeutet doch "gleich".

08.01.2017, 14:29

Tinkerbell97

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Okay... dazu müsste ich also wissen, wie das Abbilden überhaupt ging, oder? Also der Rechenschritt hin zu der Abbildung?

08.01.2017, 14:38

Leopold

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$\begin{align*} f \left( \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} a_1 + 2a_2 + a_3 \\ a_1 - a_3 \end{pmatrix} \end{align*}$

Wollen wir Werte dieser Abbildung berechnen, zum Beispiel

$\begin{align*} f \left( \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \end{pmatrix} \end{align*}$

$\begin{align*} f \left( \begin{pmatrix} t \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} t+1 \\ t+1 \end{pmatrix} \end{align*}$

$\begin{align*} f \left( \begin{pmatrix} t^2 \\ t \\ 3 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} t^2 + 2t + 3 \\ t^2 - 3 \end{pmatrix} \end{align*}$

$\begin{align*} f \left( \begin{pmatrix} s-1 \\ s+1 \\ s \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 4s+1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{align*}$

Verstehst du die Beispiele?

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08.01.2017, 14:47

Tinkerbell97

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Ja, die Beispiele verstehe ich. Danke smile

smile

Aber reicht es dann einfach, zu sagen dass das so ist:
$\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} ) + f (\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} ) = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 + 2a_2 + 2b_2 + a_3 + b_3 \\ a_1 + b_1 - a_3 - b_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

?
Da will mein Hirn dann nämlich nicht mehr mitmachen :/

08.01.2017, 14:51

Leopold

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In deiner Rechnung fehlt ein Schritt. Daher weiß ich jetzt nicht, ob du tatsächlich $\begin{align*} f(a) + f(b) \end{align*}$ ausgerechnet hast, wie du schreibst, oder nicht doch eher $\begin{align*} f(a+b) \end{align*}$ . Was da steht, ist nicht falsch, aber man weiß sozusagen nicht, was du damit sagen willst.

08.01.2017, 14:55

Tinkerbell97

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Ich glaube, das Problem ist, dass ich selbst nicht weiß, was ich damit sagen will. Deswegen verstehe ich es im Allgemeinen nicht verwirrt

verwirrt

08.01.2017, 15:00

Leopold

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Du sagtest, du habest die Beispiele verstanden. Dann verstehe ich nicht, warum du nicht wie in den Beispielen

$\begin{align*} f(a+b) = f \left( \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{pmatrix} \right) \end{align*}$

ausrechnest. Vielleicht ist Folgendes das Problem: Die Funktionsvorschrift ist noch nicht anwendbar, weil da nicht 1 Vektor steht, sondern die Summe von 2 Vektoren. Aber das ist ein kleines Problem. Du weiß doch, wie man zwei Vektoren addiert. Dann bekommst du deinen einen Vektor, auf den du die Funktionsvorschrift wie in den Beispielen anwenden kannst.

08.01.2017, 15:07

Tinkerbell97

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aaaaah, also:
$\begin{eqnarray*} f(a) + f(b) = f( \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} ) + f( \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray*}$
und dann
$\begin{eqnarray*} f( \begin{pmatrix} a_1 b_1 \\ a_2 b_2 \\ a_3 b_3 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray*}$

und dann mit der Funktionsvorschrift
$\begin{eqnarray*} f( \begin{pmatrix} a_1 b_1 \\ a_2 b_2 \\ a_3 b_3 \end{pmatrix} ) = \begin{pmatrix} a_1 b_1 + 2(a_2 b_2) + a_3 b_3 \\ a_1 b_1 - a_3 b_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
?

08.01.2017, 15:19

Leopold

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Zitat:

Original von Tinkerbell97
aaaaah, also:
$\begin{eqnarray*} f(a) + f(b) = f( \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} ) + f( \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} ) \ \color{red} \text{und warum hörst du hier auf?} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Tinkerbell97
und dann
$\begin{eqnarray*} f( \begin{pmatrix} a_1 b_1 \\ a_2 b_2 \\ a_3 b_3 \end{pmatrix} ) \ \color{red} \text{wieso multiplizierst du?} \end{eqnarray*}$

Warum folgst du nicht meinem Vorschlag:

Zitat:

Original von Leopold
Du sagtest, du habest die Beispiele verstanden. Dann verstehe ich nicht, warum du nicht wie in den Beispielen

$\begin{align*} f(a+b) = f \left( \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{pmatrix} \right) \end{align*}$

ausrechnest.

Ich bitte dich eindringlich darum, jetzt dieses $\begin{align*} f(a+b) \end{align*}$ auszurechnen. Laß die Sache mit $\begin{align*} f(a)+f(b) \end{align*}$ bleiben. DAS KOMMT SPÄTER!

08.01.2017, 15:23

Tinkerbell97

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OH MIST JA!

okay okay okay. Brain afk.
$\begin{eqnarray*} f(a) + f(b) = f(\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} ) + f (\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}) = f(\begin{pmatrix} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2\\ a_3 + b_3\end{pmatrix} ) \end{eqnarray*}$
und damit habe ich dann den Vektor, mit dem ich weiterrechnen kann.

08.01.2017, 15:34

Leopold

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Zitat:

Ich bitte dich eindringlich darum, jetzt dieses $\begin{align*} f(a+b) \end{align*}$ auszurechnen. Laß die Sache mit $\begin{align*} \color{red} f(a)+f(b) \end{align*}$ bleiben. DAS KOMMT SPÄTER!

Zitat:

Original von Tinkerbell97
$\begin{eqnarray*} \color{red} f(a) + f(b) = \ldots \end{eqnarray*}$
und damit habe ich dann den Vektor, mit dem ich weiterrechnen kann.

Du bist uneinsichtig. Warum rechnest du nicht gemäß Abbildungsvorschrift das hier aus:

Zitat:

Original von Tinkerbell97
$\begin{eqnarray*} \color{blue} \underbrace{f(\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} )}_{\text{korrigiert, Leopold}} \color{green} = f(\begin{pmatrix} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2\\ a_3 + b_3\end{pmatrix} ) \ \text{Jetzt hier weitermachen! ABBILDUNGSVORSCHRIFT VERWENDEN!} \end{eqnarray*}$

08.01.2017, 16:03

Leopold

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MUSTERLÖSUNG

Abbildungsvorschrift: $\begin{align*} f \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 + 2a_2 + a_3 \\ a_1 - a_3 \end{pmatrix} \end{align*}$

Wir berechnen zunächst $\begin{align*} f(a+b) \end{align*}$ :

$\begin{align*} f(a+b) = f \left( \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \right) = f \begin{pmatrix} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \\ a_3 + b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (a_1 + b_1) + 2(a_2 + b_2) + (a_3 + b_3) \\ (a_1 + b_1) - (a_3 + b_3) \end{pmatrix} \end{align*}$

$\begin{align*} = \begin{pmatrix} a_1 + 2a_2 + a_3 + b_1 + 2b_2 + b_3 \\ a_1 - a_3 + b_1 - b_3 \end{pmatrix} \end{align*}$

Jetzt berechnen wir $\begin{align*} f(a) + f(b) \end{align*}$ :

$\begin{align*} f(a) + f(b) = f \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} + f \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 + 2a_2 + a_3 \\ a_1 - a_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_1 + 2b_2 + b_3 \\ b_1 - b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 + 2a_2 + a_3 + b_1 + 2b_2 + b_3 \\ a_1 - a_3 + b_1 - b_3 \end{pmatrix} \end{align*}$

Und ein Vergleich der jeweiligen Endterme zeigt:

$\begin{align*} f(a+b) = f(a) + f(b) \end{align*}$

08.01.2017, 16:09

Tinkerbell97

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Okay, ich bin dumm.
Dankeschön! Gott

Gott

08.01.2017, 17:33

Leopold

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Zitat:

Original von Tinkerbell97
Okay, ich bin dumm.

Nein. Aber blockiert und ängstlich. Manchmal muß man einfach loslegen. Und wenn man sich verrannt hat und darauf aufmerksam gemacht wird, sollte man eine Pause einlegen und sich neu sortieren. Und nicht einfach aus Verzweiflung irgendwohin laufen.

Das wird noch besser. Kopf hoch!

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