Reihenglieder geschickt auseinanderziehen

08.01.2017, 15:20	Paul92	Auf diesen Beitrag antworten »
Reihenglieder geschickt auseinanderziehen Hallo, ich muss die Konvergenzverhalten der Reihe untersuchen: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{2^k}{(3+(-1)^k)^k} \end{eqnarray}$ Dazu würde ich gerne die Reihe in 2 Teile zerlegen mit geradem k und ungeradem k - denn dann ergeben sich 2 geometrische Reihen. Mein Problem ist, dass ich das eigentlich nicht darf oder? Weil dies eine Umordnung der Reihenglieder wäre und dies darf ich nur in speziellen Fällen tun (z.B. wenn die Reihe absolut konvergent ist). Oder doch nicht?
08.01.2017, 15:29	Paul92	Auf diesen Beitrag antworten »
Das oben soll natürlich eine Reihe sein. Sprich das n muss eigentlich unendlich sein.
08.01.2017, 15:34	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Weil deine alle Summanden positiv sind, ist die Reihe im Falle der Konvergenz auch absolut konvergent. Demnach müssten auch alle Umordnungen gegen den selben Grenzwert konvergieren. Wenn du also eine nicht konvergente Umordnung gefunden hast, kann auch deine ursprüngliche Reihe nicht konvergieren. Hier geht es aber noch einfacher: Notwendig für die Konvergenz der Reihe $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty a_k \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \lim_{k\to\infty} a_k=0 \end{eqnarray}$ .

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