Summe benachbarter Dreierpotenzen Quadratzahl

09.01.2017, 12:10

RavenOnJ

Summe benachbarter Dreierpotenzen Quadratzahl

Ich suche nach allen Paaren $\begin{align*} (m,n),m\ge 2 \end{align*}$ natürlicher Zahlen , für die gilt:
$\begin{align*} (m-1)^3+m^3+(m+1)^3 = 3m(m^2+2)=n^2 \end{align*}$ . Als einzige Lösungen im Zahlenbereich bis $\begin{align*} 10^8 \end{align*}$ habe ich bisher $\begin{align*} (2,6) \end{align*}$ und $\begin{align*} (24,204) \end{align*}$ gefunden. Natürlich habe ich den Verdacht, dass es keine weiteren Lösungen gibt. Kennt jemand einen Beweis dafür oder für's Gegenteil?

Meine Ideen:
Bisher keine. Getestet habe ich es mit einem kleinen Haskell-Programm:

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:

  -- sqrRoot x ergibt floor(sqrt x) für beliebig große natürliche Zahlen
sqrRoot :: Integer -> Integer
sqrRoot 0 = 0
sqrRoot 1 = 1
sqrRoot n =
   let powers = iterate (^2) 2
       (lowerRt, lowerN) =
          last $ takeWhile ((n>=) . snd) $ zip (1:powers) powers
       newtonStep x = div (x + div n x) 2
       iters = iterate newtonStep (sqrRoot (div n lowerN) * lowerRt)
       isRoot r  =  r^2 <= n && n < (r+1)^2
   in  head $ dropWhile (not . isRoot) iters

angewendet in

code:
1:	map (fst) $ filter (snd) $ map (\ x -> let g x = 3x(x^2+2); sr x = (squareRoot . g) x in ((x,sr x),sr x ^2 == g x)) [2..10^8]

Ergebnis:
[(2,6), (24,204)]

09.01.2017, 12:35

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Summe benachbarter Dreierpotenzen Quadratzahl
Ich würde es so versuchen: $\begin{eqnarray*} 3 m(m^2 + 2) \end{eqnarray*}$ quadratisch heißt, dass in einer Primfaktorzerlegung alle Faktoren gerade oft auftauchen. Zusätzlich haben $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m^2 \end{eqnarray*}$ die gleichen Primfaktoren, bloss doppelt so oft. Da alle Primzahlen, außer 2, größer als 2 sind, so sind $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m^2 + 2 \end{eqnarray*}$ fast teilerfremd, mit der einzigen möglichen Ausnahme der 2 selbst.

Genau einer der beiden Faktoren muss also 3 in einer ungeraden Vielfachheit enthalten, und alle anderen ungeraden Zahlen in gerader Vielfachheit. D.h. entweder $\begin{eqnarray*} m \equiv 0 \mod 3 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} m^2 \equiv 1 \mod 3 \end{eqnarray*}$ .

Im ersten Fall lässt sich also schreiben $\begin{eqnarray*} m = 3k \end{eqnarray*}$ für geeignetes $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ und damit erhält man, dass $\begin{eqnarray*} (3^2) k(k^2 + 2) \end{eqnarray*}$ quadratisch sein muss. Wegen der (fast) Teilerfremdheit der letzten Faktoren, kann $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ nur die 2 ungerade oft enthalten. Leider sehe ich nicht wie man sehen kann ob $\begin{eqnarray*} k^2 + 2 \end{eqnarray*}$ eine `gerade' Anzahl ungerader Primzahlen enthält.

09.01.2017, 12:46

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Summe benachbarter Dreierpotenzen Quadratzahl

Zitat:

Original von IfindU
Leider sehe ich nicht wie man sehen kann ob $\begin{eqnarray*} k^2 + 2 \end{eqnarray*}$ eine `gerade' Anzahl ungerader Primzahlen enthält.

Das ist auch mein Problem. Deine Überlegungen davor hatte ich auch schon angestellt.

09.01.2017, 12:51

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Summe benachbarter Dreierpotenzen Quadratzahl
Wie wäre es mit $\begin{eqnarray*} k^2 + 2 = l^2 \iff (k - l)(k+l) = - 2 \end{eqnarray*}$ . Da beide natürlich sind, gibt es nur die Möglichkeit $\begin{eqnarray*} k -l = -1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} k - l = -2 \end{eqnarray*}$ zusammen mit $\begin{eqnarray*} k+l = 2 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} k +l = 1 \end{eqnarray*}$ .

09.01.2017, 13:10

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Summe benachbarter Dreierpotenzen Quadratzahl

Zitat:

Original von IfindU
Im ersten Fall lässt sich also schreiben $\begin{eqnarray*} m = 3k \end{eqnarray*}$ für geeignetes $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ und damit erhält man, dass $\begin{eqnarray*} (3^2) k(k^2 + 2) \end{eqnarray*}$ quadratisch sein muss. .

Das verstehe ich allerdings nicht ganz. Du meinst wohl eher, dass $\begin{align*} k(9k^2+2) \end{align*}$ quadratisch sein muss, da ja im Fall $\begin{align*} 3\mid m \end{align*}$ gilt:
$\begin{align*} 3m(m^2+2)=9k(9k^2+2)=n^2 \end{align*}$ .

09.01.2017, 13:12

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Summe benachbarter Dreierpotenzen Quadratzahl
Entschuldige ja, genau das meinte ich. Das ändert zum Glück die Frage nach "Quadratheit" des zweiten Faktors nicht besonders.

09.01.2017, 15:23

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Summe benachbarter Dreierpotenzen Quadratzahl
Daraus folgt aber nur, dass es für ungerade und durch 3 teilbare m keine Lösung gibt.

09.01.2017, 15:30

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Summe benachbarter Dreierpotenzen Quadratzahl
Genau. Die Hoffnung war, dass man für gerade und durch 3 teilbare (d.h. nur 6 teilbare) ähnlich argumentieren kann. Wie man mit $\begin{eqnarray*} m^2 + 1 \end{eqnarray*}$ durch 3 teilbar vorgehen müsste, braucht wohl etwas tiefere Theorie. Aber ich glaube zu quadratischen Modulo-Gleichungen gibt es recht viel Theorie.

09.01.2017, 18:12

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Summe benachbarter Dreierpotenzen Quadratzahl
Wobei es mit m=24 eine durch 6 teilbare Lösung gibt.

Neue Frage »

Antworten »

Summe benachbarter Dreierpotenzen Quadratzahl

Verwandte Themen