kleines Problem mit der linearen Algebra

31.08.2004, 10:22

SOA

kleines Problem mit der linearen Algebra

Hallo zusammen,

habe gerade ein kleines Problem mit nachstehender Aufgabe.

irgendwie komme ich nicht weiter. Vielleicht könnte mir mal jemand auf die Sprünge helfen...

Vielen Dank....
SOA

31.08.2004, 11:17

Tobias

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Ich versuch das mal nachzuvollziehen:

Du hast ein Lineares Gleichungssystem vom Typ
Ac = 0 (A ist die 3x3 Matrix, c ist der Lösungsvektor (x, y, z).

Zuerst bringt man A auf obere Dreiecksform.

Schon beim ersten Schritt komme ich nichtmehr mit, weil:
Offensichtlich werden Zeilen 1 und 2 vertauscht, wobei beim $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ das Vorzeichen weggelassen wird. ??

Hat man A auf oberer Dreiecksform, so lässt sich die Determinante bestimmen, indem man die Spurelemente (Elemente auf der Diagonalen) miteinander multipliziert.

Die Nullstellen der Determinante sind die Eigenwerte. In diesem Fall 6 und 1.

Jetzt berechnet man zu jedem Eigenwert einen Eigenraum, bzw. Eigenvektor. Hierfür setzt man den entsprechenden Eigenwert in die umgeformte Matrix A ein und löst A*c = 0:

$\begin{eqnarray*} -\begin{pmatrix} -4 & 2 & -4 \\ 0 & 2\cdot 6+2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\cdot 6 -12 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dies führt zu den drei Gleichungen, die du mit den Fragezeichen versehen hast.
Dasselbe machst du mit dem zweiten Eigenwert und erhälst einen zweiten Eigenraum.

Die gesamte Rechnung ist allerdings mit Vorsicht zu genießen weil allem Anschein nach hier und dort mal Vorzeichen übersehen wurden.

Außerdem war es nicht so, dass sich die Determinante bei p Zeilenvertauschungen zu (-1)^p * D verändert?

31.08.2004, 13:17

SOA

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Hallo...

erst einmal vielen Dank für die Antwort Tobias.

Leider ist mein eingestelltes Bild etwas schlecht zu lesen.

Folgendes zur äquivalenten Umformung:

Das kann man machen, ohne dass sich ein Gleichungssystem verändert.

1. 2 Gleichungen dürfeb miteinander vertauscht werden

2. jede Gleichung darf mit einer beliebigen, von Null verschiedenen Zahl
multipliziert oder dividiert werden

3. zu jeder Gleichung darf ein beliebiges Vielfaches einer anderen Gleichung addiert werden.

-----------------------------------------

Nur bei der Vertauschung der der Spalten ändert sich das Vorzeichen!!!!!!

Ich denke, das 6 und 1 korrekt sind.

Unklar ist mir, wie ich das Ergebnis so in die Gleichungen einsetze, dass
das Ergebnis von t dabei herauskommt.

Wie komme ich auf die beiden Vektoren t??????

Über eine anschauliche Erklärung wäre ich sehr dankbar.

smile

Vielen Dank im voraus.

Gruß
SOA

31.08.2004, 13:48

Tobias

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Du musst doch einfach nur die von mir schon dargestellte Gleichung ausmultiplizieren:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -4 & 2 & -4 \\ 0 & 2\cdot 6+2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\cdot 6 -12 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4x + 2y - 4z \\ 14y \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Du löst das Gleichungssystem und erhälst eine Parameterlösung.

Z.B. x = 2t, y = t, z = 0

dann ist dein Lösungsvektor (x, y, z)^tr = (2t, t, 0)^tr = t*(2, 1, 0)^tr.

^tr bedeutet transponiert, weil die Vektoren eigentlich senkrecht stehen müssten.

31.08.2004, 14:30

Mazze

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Zitat:

Nur bei der Vertauschung der der Spalten ändert sich das Vorzeichen!!!!!!

Das Vorzeichen der Determinante ändert sich. Die Lösungen bleiben gleich. Du hast bereits einen Vorzeichenwechsel mißachtet

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2 & 2 & -\lambda \\ -4 & -4 & 2 \\ 6 & \lambda & -3 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

<=>

$\begin{eqnarray*} -1*\begin{vmatrix} -4 & -4 & 2 \\ 2 & 2 & -\lambda \\ 6 & \lambda & -3 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Deine Äquivalenzumformungen um die Lösungen zu bekommen sind aber richtig.

Die Determinante ist ein Kriterium für die Lösbarkeit eines Gleichungssystems allerdings macht es keinen Sinn in ein fertig umgeformtes System die Determinante einzusetzen.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -4 & 2 & -4 \\ 0 & 2*\lambda+2 & 0 \\ 0 & 0 & 2*\lambda-12 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aus der letzten Zeile folgt unmittelbar das z immer 0 sein muss, mit ausnahme das lambda = 6. Wenn lambda = 6 ist z beliebig aus R.
Die Restlösungen betrachtet man dann ähnlich.

Aus der zweiten Zeile folgt das y immer Null ist mit ausnahme von lambda =1 . Für lambda = 1 und z beliebig aus R.

Übersetzt heißen die Zeilen nämlich nix anderes als

$\begin{eqnarray*} -4x + 2y -4z = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2*\lambda+2)y = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2*\lambda-12)*z = 0 \end{eqnarray*}$

Wenn Du jetzt von hinten nach vorne durchgehst sollten die verschiedenen Lösungen erfolgen.

Wenn Du deine Lösungen überprüfen willst mache die Probe. Das schöne an LG's ist nämlich die einfache Überprüfbarkeit.

edit

Ich sehe es macht doch Sinn die lambda für die die Determinante null ist einzusetzen, denn es existiert genau dann eine nichttriviale lösung des homogenen Systems wenn Det(A) = 0 . Du hast halt nur einen Vorzeichenfehler bei der Determinante durch die erste Zeilenvertauschung!

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