Summe über metrischen Tensor und Christoffelsymbole

09.01.2017, 17:14	Rabcd	Auf diesen Beitrag antworten »
Summe über metrischen Tensor und Christoffelsymbole Meine Frage: Hallo, Bei einem Skript wurde erwähnt, dass $\begin{eqnarray} \lambda_{\alpha \beta }^{\gamma } g^{\alpha \beta } = \lambda^{\gamma} \end{eqnarray}$ gilt. Das erscheint mir auch logisch, meine Frage wäre jedoch ob dann auch automatisch: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{\beta} g^{\alpha \beta} = g^{\alpha} = \lambda^{\alpha} \end{eqnarray}$ Gilt? (Das Lambda steht stellvertretend für die Christoffelsymbole) Meine Ideen: Wenn über die unteren Indizes nicht summiert wird, bleibt nur noch dieser Indize übrig, weshalb dies gelten müsste.
10.01.2017, 12:01	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Christoffelsymbol $\begin{eqnarray} \Gamma_{\alpha \beta}^{\gamma} \end{eqnarray}$ ist durch eine speziell Definition festgelegt, die du aus der Vorlesung kennst. Das Christoffelsymbol besitzt immer 3 Indizes, weshalb man es in älteren Lehrbüchern auch als "Drei-Indexsymbol" bezeichnet. Man kann also nicht einfach zwei Indizes weglassen und schreiben $\begin{eqnarray} \Gamma^{\gamma} \end{eqnarray}$ . Die Formel $\begin{eqnarray} \Gamma_{\alpha \beta}^{\gamma}g^{\alpha \beta}=\Gamma^{\gamma} \end{eqnarray}$ muss also als Definition (quasi als Abkürzung) einer neuen Größe $\begin{eqnarray} \Gamma^{\gamma} \end{eqnarray}$ aufgefasst werden, welche nur einen Index hat.
10.01.2017, 12:34	Rabcd	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber wenn man die Symbole aufschreibt: $\begin{eqnarray} g^{\alpha \beta}\Gamma^{\mu}_{\alpha \beta} = 0.5g^{\alpha \beta}g^{\delta \mu}(g_{\delta \alpha, \beta} + g_{\beta \delta, \alpha} + g_{\alpha \beta, \delta}) \end{eqnarray}$ Sollten dann nicht die alpha's und beta's in der Klammer bei dem Metrischen Tensor wegiteriert werden, da sie mit der Inversen multipliziert werden? Weil wenn dies so wäre, würde dort dann nur noch der Metrische Tensor mit einem Indize oben stehen.
10.01.2017, 13:57	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach Summation über zwei Indizes, bleibt nur noch eine Größe mit einem Index übrig. Das ist nicht falsch, aber es ist nur die Definition einer neuen Größe $\begin{eqnarray} \Gamma^{\gamma}=\Gamma^{\gamma}_{\alpha \beta} \end{eqnarray}$ , also nur eine Abkürzung. Das gleiche gilt für $\begin{eqnarray} g^{\alpha}=\sum\limits_{\beta} g^{\alpha \beta} \end{eqnarray}$ . Auch dies ist nur die Definition (Abkürzung) für eine neue Größe $\begin{eqnarray} g^{\alpha} \end{eqnarray}$ .
10.01.2017, 16:10	Rabcd	Auf diesen Beitrag antworten »
Soweit hab ich das dann auch verstanden meine Frage wäre, ob diese beiden Definitionen äquivalent sind? Also: $\begin{eqnarray} g^{\mu} = \Gamma^{\mu} \end{eqnarray}$
11.01.2017, 09:41	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gilt $\begin{eqnarray} \sum\limits_{\delta} g^{\gamma \delta}\neq\Gamma_{\alpha \beta}^{\gamma}g^{\alpha \beta} \end{eqnarray}$ _________________Formel () ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Beispiel: Im euklidischen 2-dimensionalen Raum wählen wir die Standardbasis $\begin{eqnarray} \vec g_1=\vec g^1=(1\|0) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec g_2=\vec g^2=(0\|1) \end{eqnarray}$ Die Metrik in diesem Raum ist die Einheitsmatrix $\begin{eqnarray} g^{\alpha \beta}=g_{\alpha \beta}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das Christoffelsymbol ist allgemein definiert als das Skalarprodukt $\begin{eqnarray} \Gamma_{\alpha \beta}^{\gamma}=\tfrac{\partial \vec g_{\alpha}}{\partial x^{\beta}} \cdot \vec g^{\gamma} \end{eqnarray}$ Offenbar verschwinden im euklidischen Raum alle Christoffelsymbole, weil die Basisvektoren nicht von den Koordinaten abhängen, sondern konstant sind. Die rechte Seite der Formel () verschwindet also. Die linke Seite verschwindet dagegen nicht. Wählt man z.B. den Index $\begin{eqnarray} \gamma=1 \end{eqnarray}$ , so hat man $\begin{eqnarray} \underbrace{\sum\limits_{\delta} g^{1 \delta}}_{1+0}\neq\underbrace{\Gamma_{\alpha \beta}^{1}}_0g^{\alpha \beta} \end{eqnarray}$ Wir haben also $\begin{eqnarray} 1 \neq 0 \end{eqnarray}$
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