Strategien zum Würfeln mit sudden death

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Dopap Auf diesen Beitrag antworten »
Strategien zum Würfeln mit sudden death
ein Spieler der an der Reihe ist würfelt mit 1 Spielwürfel immer wieder und addiert die Augenzahlen.
Das Spiel geht mit der erzielten Augensumme zu Ende, wenn der Spieler abbricht
oder
eine 1 würfelt, dann ist die erzielte Augensumme Null. Das war dann ein leg

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4 Personen spielen ein paar Runden. Anfänglich geht es darum in einer Runde nicht der Schlechteste zu sein. Bei Gleichstand ist der "Letzte" der Schlechtesten der endgültig Schlechteste und nimmt einen Bon aus dem Stock und darf vorlegen.

Ist der Stock leer geht es andersherum. Der Spieler mit der höchsten Augenzahl darf einen Bon zurück in den Stock legen. Der Schlechteste dieser Runde darf vorlegen.
Wer keinen Bon mehr hat oder keinen bekommen hat scheidet aus. Der Rest spielt weiter und ermittelt den Verlierer, der dann 1 Runde ( Getränke > 35% ) bezahlt.

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I
  1. Was ist die optimale Anzahl an Würfen eines legs ?
  2. der Erwartungswert der Augensumme eines legs ?


II
  1. In der Vorrunde lege ich vor. Was ist die defensive Taktik,
    da ich ja lediglich nicht der Schlechteste werden möchte.
  2. in der noch vollzähligen Ablegerunde lege ich vor. Welche Taktik ist jetzt empfehlenswert um Sieger der Runde zu werden ?


Die Anzwahl der Teilnehmer ist nicht zwingend, nimmt ja zwangläufig in der Rückrunde ab.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist mir zuviel Regelwerk auf einmal. Den Erwartungswert eines legs optimiert man aber folgendermaßen:

Angenommen, man hat schon Augensumme erwürfelt und fragt sich, ob es sich lohnt weiterzumachen. Die erwartete Augensumme nach dem nächsten Wurf ist



Für , also , lohnt sich die Sache, für nicht.
 
 
1nstinct Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Strategien zum Würfeln mit sudden death
Hallo,

Ich würde es so versuchen (bitte verbessert micht, da kann auch ein Denkfehler drin sein!):

Seien iid ZVen gleichverteilt auf , sowie

. Dann ist eine Stoppzeit (bzgl. ) und nach der Waldschen Gleichung gilt:



Das sollte sich mit dem Ergebnis von HAL decken.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Strategien zum Würfeln mit sudden death
Zitat:
Original von 1nstinct

. Dann ist eine Stoppzeit (bzgl. )


das Letztere ist schwer lesbar.

Zitat:



1.) nehme an, könnte auch sein.

2.) warum ist ? ist mir nicht 100%-tig klar.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

nun, das ist soweit schon klar.

N=5 ist der Erwartungswert der Anzahl der "Fehlversuche" der geom. Verteilung mit p=1/6
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich teile Dopaps Bedenken, und mache insbesondere auf folgende Punkte aufmerksam:


1) ist die erreichte Augensumme kurz vorm "Crash". Als Strategie ist es aber untauglich, immer bis zum Crash zu warten, denn dann ist die Augensumme immer 0. Insofern wäre der Zusammenhang zum hier vorliegenden Problem näher zu diskutieren.


2) Was genau ist bei dir , wenn du von sprichst ? Es ist nicht die gewürfelte Augenzahl, denn für die gilt bekanntlich .

Ich könnte mir vorstellen, dass du eigentlich meinst, denn nur die bedingte Verteilung von unter der Bedingung ist die diskrete Gleichverteilung auf , aber nicht die absolute Verteilung!
1nstinct Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
1.) nehme an, könnte auch sein.


Genau, die sind ja iid.


Zitat:
Zitat:
Zitat: Original von 1nstinct . Dann ist eine Stoppzeit (bzgl. )


das Letztere ist schwer lesbar.


Um die Waldsche Gleichung anwenden zu können, braucht man eine Folge von ZVen, die an eine Filtrierung adaptiert sind. Weiter muss die ein Stoppzeit bezüglich genau dieser Filtrierung sein.
In diesem Fall wähle ich die kanonische: .
Integrierbarkeit von Stoppzeit und Zven wir auch noch gefordert.

Zitat:
N=5 ist der Erwartungswert der Anzahl der "Fehlversuche" der geom. Verteilung mit p=1/6

Ich sehe gerade, dass ich wohl einen Fehler gemacht habe, bitte entschuldige. Ich bin so vorgegangen:

Für gilt:


Dann folgt mit der geometrischen Reihe:



Angenommen eine 0 sei ein Erfolg. Dann zählt das Minimum ja nicht die Anzahl der Fehlversuche, sonder die Anzahl der Versuche bis zum Erfolg.



EDIT: Und auch habe ich falsch berechnet.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

also, ich starrte gestern die Formeln von 1nstinst so lange an, bis mir die Augen zufielen.
Später habe ich dann meine Ideen den Formeln angepasst, was man nicht machen sollte.

Früher spielte ich so: 6 mal würfeln und Ende. Unabhängig vom der erzielten Augensumme. Ich hatte ja nie 'ne Vorlesung in Stochastik.
Erfahrungsgemäß kommt dabei im Schnitt 20 raus. Meine Argumentation war ungefähr so: ist der durchschnittliche Wert eines Wurfes(?). Multipliziert mit 6 ergibt das Augenzwinkern

das steht etwas auf wackeligen Beinen, aber genügte zum Mitspielen.
HAL hat nun die 20 erzielten Punkte als Abbruchbedingung unabhängig von der Wurfanzahl ins Spiel gebracht. Interessant ! Vor allem ein relativ überschaubarer Ansatz.

gefühlsmäßig ist Letzteres plausibler: Hat man z.B. in 5 Würfen schon 25 Punkte erzielt, sollte man nicht zu gierig sein.
Hat man aber in 6 Würfen erst 14 Punkte erzielt kann man ruhig mehr Zocken.
Das könnte man unter Nutzenmaximierung oder Schadensminimierung verbuchen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Interessant ist, welchen Erwartungswert der Augensumme man mit dieser Strategie "20" (also aufhören bei >20) erzielt - da schlagen natürlich die vielen Nieten deftig rein:

Möglich sind ja nur die Ergebnisse 0 und 20...25. Mit einer Rekursion (Details später, falls gewünscht) komme ich da auf den doch etwas enttäuschend niedrigen Wert , wobei die ca. 62% Nieten verantwortlich zeichnen.

Zum Vergleich die Nachbarn: Mit Strategie "19" sind es , also geringfügig weniger, ebenso bei Strategie "22". (Strategie "21" erzielt denselben Erwartungswert wie "20", s.o.).
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

geschockt
da trügt die Erinnerung doch gewaltig, das sind doch erstaunlich niedrige Erwartungswerte.
Sollte man doch noch früher abbrechen ?

Warum ist die Simulation rekursiv?
Das kann man doch so programmieren wie man es spielt verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dopap
Warum ist die Simulation rekursiv?
Das kann man doch so programmieren wie man es spielt verwirrt

Hab ich doch auch, und das eine schließt das andere nicht aus. Dann doch ein paar Details:

Es sei die Wahrscheinlichkeit für Augensumme Punkte nach Würfen, wobei
- bei Ergebnisnullung bei irgendeinem der vorigen Würfe die Augensumme bei 0 verharrt
- bei Augensumme nicht mehr weitergewürfelt wird, d.h. die Augensumme bei verharrt.

Offenkundig ist, dass sich für die Verteilung nicht mehr ändert, denn man ist entweder bei 0 oder hat wegen des Mindestgewinns 2 in jedem Schritt die Zielmarke erreicht! ist dann der gesuchte Erwartungswert. Und genauso habe ich das in einem kleinen MuPAD-Skript auch durchgezogen, wobei Verteilung rekursiv aus hervorgeht.

Zitat:
Original von Dopap
Sollte man doch noch früher abbrechen ?

Nein, das sackt da noch weiter ab:

r=18: 8.089
r=17: 8.032
r=16: 7.952
r=15: 7.847
r=14: 7.716
r=13: 7.567
r=12: 7.374
r=11: 7.142
r=10: 6.874
r=9: 6.579
r=8: 6.245
r=7: 5.973

Man hat zwar immer geringere Nietenwahrscheinlichkeiten, aber der Ertrag im Nichtnietenfall nimmt eben auch ab. Die Anfangsbetrachtung stimmt schon: Hinsichtlich des Erwartungswerts ist Abbruchbedingung >20 bzw. >21 (beide gleichwertig) optimal.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Freude ------ werd' ich mir merken.
Bei meinem TR ist die Sicherungszelle leer. Dabei wäre das egal. Alle Programme und Daten sind 'eh auf SD-Karte mit gigantischen 1 GB Speicherplatz. Augenzwinkern Für die Kids: Ja, das ist für ASCII Programme eine Menge Holz!

Es steht noch Teil 2 ( Entscheidungsregeln ) offen, möchte aber dazu einen neuen Thread eröffnen. Zur Verständlichkeit aber ein simples leg benutzen.
Dazu eine Frage: macht es irgendeinen Verteilungs-Unterschied, ob ich im Programm zur Erzeugung von nicht gleichverteilten Zahlen

A.) oder

B.) verwende. (RPN Logik )

Ich meine damit: Wenn X,Y gleichverteilt auf [0,1] sind , kann man dann

gleichwertig mit verwenden ? Ich denke ja!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dopap
Ich meine damit: Wenn X,Y gleichverteilt auf [0,1] sind , kann man dann

gleichwertig mit verwenden ? Ich denke ja!

Nein! Für ist



mit Dichte . Hingegen ist ebenfalls für



mit Dichte , eine komplett andere Verteilung!
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

o.k. eigentlich kommt die Fehleinschätzung daher, dass der TR in beiden Fällen "ähnliche" Zahlenreihen - kleine Werte häufiger als große Zahlen - ausspuckt.
der Unterschied ist beim Durchprobieren nicht offensichtlich, so meinte ich das.
Die Dichten:

HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Drastische Unterschiede zwischen beiden Verteilungen sind insbesondere nahe der 1 zu sehen:

So ist , während deutlich größer ist. Also z.B. und .


Zitat:
Original von Dopap
Es steht noch Teil 2 ( Entscheidungsregeln ) offen, möchte aber dazu einen neuen Thread eröffnen.

Ja, die Erwartungswertoptimierung ist sicher nicht die klügste Strategie, wenn man als erster "vorlegen" muss lediglich mit dem Ziel, nicht der schlechteste zu sein. Rein intuitiv ist da schon klar, dass die o.g. 62% Ruinwahrscheinlichkeit deutlich zu viel sind - da macht man es ja den Gegnern sehr einfach. Da sollte man doch besser wesentlich vor der 20 aufhören und drauf hoffen, dass wenigstens einer der anderen im Ruin landet. Augenzwinkern

Aber genaueres dann eher in dem neuen Thread.
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Dopap erklärte: Das Spiel geht mit der erzielten Augensumme zu Ende, wenn der Spieler abbricht
oder
eine 1 würfelt, dann ist die erzielte Augensumme Null.

Ist das eine Bedingung für das Zugende eines Spielers oder die Bedingung wann eine Runde zu Ende ist oder tatsächlich die Spielende - Bedingung?

An dieser Diskussion wundern mich zwei Dinge:

1. Wie kann man bei einer unklaren Spielregel schon anfangen über Wahrscheinlichkeiten zu reden? Was ist eigentlich los, wenn nach der ersten Runde noch kein Spieler eine Eins gewürfelt hat? Ist dann das Spiel zu Ende und es gewinnt der Spieler mit der höchsten Würfelsumme? Oder darf jeder Spieler in den Folgerunden seine Würfelsumme so lange zu verbessern versuchen, bis er nicht mehr letzter ist?

2. Alle Berechnungen hier zielen auf einen hohen Erwartungswert der Würfelsumme. Dabei kommt es doch darauf an, nicht der Schlechteste zu werden. Dann muß man doch auf das Ergebnisse seiner Gegner reagieren. Das war aber bei den Berechnungen noch nicht zu sehen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ulrich Ruhnau
1. Wie kann man bei einer unklaren Spielregel schon anfangen über Wahrscheinlichkeiten zu reden?

Was ein leg ist, wurde klar und deutlich von Dopap erklärt.

Zitat:
Original von Ulrich Ruhnau
Das war aber bei den Berechnungen noch nicht zu sehen.

Richtig, in konkreten Berechnungen nicht, aber es wurde angesprochen. Du kannst auch gern damit beginnen, statt nur rumzukritteln. smile
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

zu den Spielregeln sag ich nix mehr. Es gibt ja auch noch Kneipen...

0<t<1

wie ist das zu Interpretieren? komm' einfach nicht zum drauf.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ein paar Zwischenschritte:

.

Bei geht die Unabhängigkeit von und ein.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

@ HAL:
na prima, wusste doch, dass bei dir auch hinter "einfachen" Sachen der Abgrund lauert. Augenzwinkern
Aber besser lesbar ist das allemal.

Gut soweit. Beim nächsten Thread werde ich den Ball aber erst einmal flach halten. Big Laugh

------------------

Edit : @mod: Strategien war verfrüht, zum Thread passt jetzt eher:

Erwartungswerte beim Würfeln mit sudden death
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Dopap: zu den Spielregeln sag ich nix mehr. Es gibt ja auch noch Kneipen...

So fühle ich mich ausgegrenzt. Nicht alle Menschen sind Säufer, die auch noch um Geld spielen. Ich kenne dieses bekloppte Spiel wirklich nicht, obwohl ich auf der Münchner Spielwiesn einer der vielen ehrenamtlichen Spieleerklärer bin. Aber da wird auch nicht um Geld gespielt. Es wird höchstens Eintritt bezahlt.
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Strategien zum Würfeln mit sudden death
Nach langem Nachdenken gehe ich von der folgenden Spielvariante der ersten Spielhälfte aus:
Würfelt ein Spieler eine Eins, beendet er damit seine Runde, und nimmt einen Bon. Dann beginnt er die nächste Runde mit Würfeln. Geht die Reihe an den letzten Spieler, weil kein anderer beim Würfeln eine Eins gewürfelt hat, dann liegt es an ihm, das bisherige letzte Ergebnis zu übertreffen ohne dabei eine Eins zu würfeln.

Sei jetzt eine Würfelsumme von n-1 zu überbieten. Er würfelt jetzt so lange, bis er die Würfelsumme n erreicht hat oder an einer Eins gescheitert ist. Die Wahrscheinlichkeit, daß der Spieler an dieser Aufgabe durch eine Eins scheitert ist dann:















Die nachfolgende Grafik zeigt alle Verlierwahrscheinlichkeiten für .
[attach]43591[/attach]
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Strategien zum Würfeln mit sudden death
Wenn man sich meine Grafik anschaut, die zunächst mal für den letztem Spieler einer Runde gemacht wurde, dann erkennt man, daß dieser Spieler mit einer über 50% liegenden Wahrscheinlichkeit die Runde verloren hat, falls eine Würfelsumme von 13 zu überbieten ist. Dann nämlich hat der letzte Spieler die Verlierwahrscheinlichkeit



Damit ist gezeigt, daß man als vorletzter Spieler einer Runde nicht länger würfeln sollte, als bis man mindestens 13 gewürfelt hat. Das gilt unabhängig davon, was diesem Spieler vorgelegt wurde. Denn wenn er nicht bis 13 würfelt, dann kontert der letzte Spieler umso besser.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

sehr gepflegt. im neuen Thread sind die Spielregeln nochmals genau definiert.
In diesem Sinne ist das sudden-death-würfeln so zu sehen:

Es ist die leg-Zahl. und zwar:
1.) null falls irgendwann eine 1 gewürfelt wird
2.) Die erzielte Augensumme wenn der Spieler abbricht.

Bei Gleichstand im Frame in set 1 ist der Reihenfolge-Letzte dieser Gleichständler der Schlechteste.
Bei Gleichstand im Frame in set 2 ist der Erste der Gleichständler der Beste. = "mit" gilt nicht.

Bisher nicht in Gebrauch da leg-Zahlen reell sind.
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Dopap,
Das andere Spiel mit dem Zufallszahlenintervall [0,1) interessiert mich momentan hier gar nicht. Mich interessiert auf deine anfängliche Frage eine gute Antwort zu geben.

So möchte ich hier ergänzen: Was sollte der drittletzte Spieler einer Runde tun? Nun als drittletzter Spieler würde ich mein eigenes Risiko nicht größer als 1/3 gestalten. Das geschieht am besten indem ich bis zur Würfelsumme 7 spiele und den beiden nachfolgenden Spielern ihre Verlierwahrscheinlichkeiten



und



überlasse.
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt habe ich noch mal die Rolle des vorletzten Spielers einer Runde untersucht. Es geht um die Frage, bei welcher Würfelsumme dieser Spieler aufhören sollte wenn er sich vom Bon-nehmen drücken will. D.h wir müssen seine Siegwahrscheinlichkeit maximieren. Für welches n ist seine Gewinnchance maximal?



Dazu habe ich ein Diagramm berechnet. Nach diesem Diagramm sollte der vorletzte Spieler schon aufhören, wenn er die Würfelsumme 12 erreicht hat. 13 ist aber auch nicht schlecht. Was allerdings wundert, ist, daß dieser Spieler mit ca. 75 % Wahrscheinlichkeit die Runde verliert und einen Bon nehmen muß. Mit ca 50 % Wahrscheinlichkeit schafft es dieser Spieler noch den letzten Spieler drankommen zu lassen, der dann fifty-fifty-Chancen hat, sein Pech abzuwenden.
[attach]43597[/attach]

Im Nachhinein komme ich darauf, was hier noch nicht ganz stimmt. Das Nicht-Letzter-Sein-Diagramm für den vorletzten Spieler, gilt ja nur dann, wenn sehr hoch vorgelegt wurde, z.B. n = 20.
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muß leider meinen letzten Post relativieren. Ich hatte da übersehen, daß man beim Erreichen einer gewünschten Würfelsumme auch um bis zu 4 Augen über das Ziel hinausschießen kann. Z.B. indem man beim letzten Würfeln statt einer 2 eine 6 würfelt. Jetzt will ich es besser machen und habe mir eine Rekursion für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit überlegt, mit der man die angestrebte Würfelsumme genau erreicht.

Sei die Würfelsumme mit genau zu erreichen, dann ist die Wahrscheinlichkeit dafür gegeben durch:



mit und sowie

Andererseits könnte es interessant sein, beim Erreichen eine Würfelsumme von mindestens n einmal aufzuschlüsseln, mit welchen Wahrscheinlichkeiten wie weit über das Ziel hinaus geschossen wird. Während die Wahrscheinlichkeit für genaues Erreichen der Würfelsumme n ist, sei die Wahrscheinlichkeit für das Hinausschießen um 1. Dann gilt:



sowie für Hinausschießen um 2, 3 , 4







Auf der Grundlage dieser Rekursionen habe ich ein Diagramm ausgerechnet.
[attach]43614[/attach]

Dunkelblau steht für genau treffen, hellblau steht für hinausschießen um 1, grün um 2, braun um 3 und gelb um 4. D.h. die Gesamtlänge eines Balkens gibt die Wahrscheinlichkeit an, mindestens die auf der x-Achse angegebene Augensumme zu erreichen.
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